广义斯托克斯定理（generalized Stokes' theorem）
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这是整个领域的顶峰，而它一行写得下：d omega 在一个区域上的积分，等于 omega 在该区域边界上的积分。用符号写，omega 的外微分在 M 上的积分，等于 omega 在 M 的边界上的积分。它说：要把一个量在区域内部各处的变化累加起来，你只需看它在边缘一圈上的取值——内部的变化，边沿上的总和。
它的威力在于：它作为特例，囊括了向量微积分的每一条积分定理。取区域为一个区间、omega 为 0-形式：你得到微积分基本定理，f' 的积分等于 f 在端点上的值。取平面区域、omega 为 1-形式：你得到格林定理。取空间中的曲面、omega 为 1-形式：你得到经典的斯托克斯（旋度）定理。取一个实体、omega 为 2-形式：你得到散度定理。它们不是四条定理，而是一条定理在四个阶数上的样子；它们在向量微积分里看起来如此不同，唯一的原因是梯度、旋度、散度只是同一个算子 d 穿着三套戏服。
诚实的小字是真实的，值得说清。区域必须是定向的带边流形，边界必须携带诱导定向（让各个号正确出来的约定）。形式必须在含边界的区域上光滑，或至少连续可微。内部不能有缺失的点或奇点——角度形式展示了当区域里有一个形式在其处爆掉的洞时会出什么错。在这些前提之内，定理精确而绝对，它也是物理中守恒律既能写成局部微分律、又能写成整体通量平衡的结构性原因。
取单位圆盘 D 与 1-形式 omega = x dy。则 d omega = dx^dy，所以 d omega 在 D 上的积分是面积 pi。定理说这等于 omega = x dy 沿边界圆的积分，我们在积分例子里算出它是 pi。两个 pi 相符——这一举就是格林定理与面积公式。
同一个数 pi，一次作为内部的面积、一次作为边缘上的环流算出——斯托克斯在起作用。
定理需要定向与光滑性；它不是免费通行证。当区域内部有洞或奇点时——如角度形式的原点——朴素的等式失效，你必须要么把坏点排除（添上它自己的一小圈边界），要么接受一个非零的亏量，而这亏量恰是该形式所代表的上同调类。