链与边界（chain and boundary）

要积分一个形式，你需要某个东西去积分，而单一光滑片往往不够——真实区域可能是好几块拼起来的，各有各的定向。链就是为此而设的记账装置：定向 k 维片（叫 k-胞腔或单纯形）的形式和，带整数系数，让你能把一片数两遍，或带负号翻转其定向。1-链是定向曲线段之和；2-链是定向曲面片拼成的补丁。

边界算子，用一个花体 d（这里记作 bd）表示，把 k-链变成它的 (k-1) 维边界，作为 (k-1)-链——并且仔细追踪定向。定向曲线段的边界是其终点减去起点。定向圆盘的边界是其逆时针绕行的边缘。实心球的边界是它的球面。各个号安排得使两片共享一条棱时，那条共享棱从两侧带着相反定向出现，在和里相消——这正是把补丁拼起来时内部切口消失的原因。

决定性的事实，d 平方等于零的镜像，是边界的边界为空：bd(bd of c) = 0。曲面有边缘，但那边缘是没有自身端点的闭回路；实体有表面，但那表面是没有边沿的闭曲面。这是 d 平方 = 0 的几何孪生，两者合在一起，使广义斯托克斯定理（d omega 在区域上的积分等于 omega 在其边界上的积分）成为形式上算子 d 与链上算子边界之间一种完美的对偶。