体积形式（volume form）
在 n 维空间上有一个特殊阶数的形式：n 阶，即最高阶，它度量完整的 n 维体积。体积形式是一个处处非零的 n-形式，它正是这样一个装置：喂入 n 个向量，返回它们张成的盒子的带号体积。在平直的 R^3 中，标准体积形式是 dx^dy^dz；喂入三个向量，你得到以这些向量为列的矩阵的行列式——你早已认识的带号体积。
两个角色使体积形式不可或缺。其一，它是你拿来与函数相乘求总量的对象：密度为 rho 的物体的质量是 rho 乘以体积形式的积分，在坐标下这就是熟悉的 rho dx dy dz 的三重积分。其二，体积形式恰是携带定向的东西：选定一个体积形式就等同于选定哪个方向为“正定向”，翻转它的号就把左手系换成右手系。一个空间恰在可定向时才容许整体的体积形式——这正是为何莫比乌斯带因不可定向而没有一致的体积形式，你也无法按通常方式在它上面积分最高阶形式。
在弯曲空间或曲线坐标中，体积形式不只是 dx^dy^dz；它从度规获得一个因子。在极坐标中它是 r dr^d(theta)；在球坐标中它是 r^2 sin(phi) dr^d(theta)^d(phi)；一般而言它是度规行列式的平方根乘以坐标形式。那个因子恰是你在任何换元中携带的雅可比缩放因子——所以体积形式是换元行列式的家，也是散度定理与流形上整套积分机器所环绕的对象。
在 R^3 中，给 dx^dy^dz 喂入三个列向量 u = (1, 0, 0)、v = (1, 2, 0)、w = (1, 1, 3)。结果是 [1, 1, 1; 0, 2, 1; 0, 0, 3] 的行列式 = 1*2*3 = 6，即它们张成的平行六面体的带号体积。把其中两个向量调换次序，答案变成 -6——这是形式记录下来的定向。
体积形式返回其输入所张成盒子的带号体积——一个随定向翻号的行列式。
体积形式只需要定向，不需要度规——任何处处非零的最高阶形式都行，而两个这样的形式相差一个正函数。但要得到几何体积（如你期望的长度与角度），你需要带着度规行列式平方根因子的度规体积形式；裸的 dx^dy^dz 只在笛卡尔坐标下给出正确的体积。