形式的积分（integration of a form）
微分形式生来就是为了被积分，而匹配规则美得严丝合缝：k-形式正是你在 k 维区域上积分的对象。0-形式（函数）在 0 维区域（一个点）上的“积分”就是在那里取值。1-形式在曲线上积分，2-形式在曲面上，3-形式在立体上。形式的阶数必须等于定义域的维数，否则积分根本无从谈起。
在操作上，你通过参数化区域并把形式拉回到参数空间来积分一个 k-形式，在那里它变成一个普通的多重积分。要在由一个从 u-v 矩形出发的映射给出的曲面 S 上积分 omega，你计算拉回 F-star omega，它落成（某函数）du^dv，然后你把这个函数当作矩形上的普通二重积分去积。由于拉回自动携带雅可比，你从不单独去记换元因子——r dr d(theta) 与曲面元的缩放会自己出现。区域的定向决定整体的号：反转定向，积分变号，呼应形式自身的反对称性。
这单一框架把线积分、曲面通量积分、普通体积积分都作为特例吞下——它们全都是“在定向区域上积分匹配阶数的形式”。回报是广义斯托克斯定理可以对它们一次性陈述：d omega 在区域上的积分等于 omega 在边界上的积分。又因为整个构造建立在拉回之上，答案是真正几何的——与你恰好选取的参数化无关。
在单位圆上积分 1-形式 omega = x dy，用 x = cos t、y = sin t（t 属于 [0, 2 pi]）参数化。拉回：dy 变成 cos t dt，所以 F-star omega = cos t * cos t dt = cos^2 t dt。cos^2 t 在 [0, 2 pi] 上的积分是 pi——恰好是所围面积，这是格林定理的一个暗示。
在曲线上积分 1-形式，经由拉回，归结为参数里的普通单重积分。
积分随定向变号，所以只有在你固定区域定向后，形式的积分才有定义。这与用于总质量或弧长的函数无号积分不同——那里你对面元取绝对值，定向无关紧要。