楔积（wedge product）
/ WEJ product /
如何用两个度量长度的 1-形式造出一个度量面积的 2-形式？你把它们相乘——但要带上一个记住定向的转折。楔积，用符号 ^（读作“楔”）记，是把一个 p-形式与一个 q-形式合成 (p+q)-形式的乘法。它的全部个性就是一条规则：它对 1-形式反对称，即 dx^dy = -dy^dx，因而 dx^dx = 0。
这种反对称不是怪癖，而是定向面积的代数。2-形式 dx^dy 喂入两个向量，返回它们在 x-y 平面上投影的带号面积——一个行列式——而行列式在交换两列时变号，这恰恰就是 dx^dy = -dy^dx。dx^dx = 0 的消失则在说：两条棱相等的退化平行四边形没有面积。对混合阶数，符号规则推广为：若 alpha 是 p-形式、beta 是 q-形式，则 alpha^beta = (-1)^(pq) beta^alpha，于是两个 1-形式反交换，而一个 2-形式与一个 1-形式交换，依此类推。楔积还满足结合律并对加法分配，所以你几乎可以像普通乘法那样运算——只需在重排时仔细记号，并把任何重复了某个基本 1-形式的项杀掉。
楔积是让更高阶形式得以存在的发动机。它让 dx、dy、dz 生成基本 2-形式与体积形式 dx^dy^dz；它藏在叉积里（u 叉乘 v 对应于由对偶于 u、v 的 1-形式造出的 2-形式），也藏在每一个换元雅可比里。在物理中，它把势 1-形式拼成电磁场 2-形式，并支撑哈密顿力学的辛 2-形式。
把 alpha = 2 dx + dy 与 beta = dx - 3 dy 相楔。展开并用 dx^dx = dy^dy = 0 以及 dy^dx = -dx^dy：alpha^beta = 2 dx^(-3 dy) + dy^dx = -6 dx^dy - dx^dy = -7 dx^dy。这唯一的系数 -7 恰好是系数矩阵 [2, 1; 1, -3] 的行列式。
在平面上把两个 1-形式相楔，产出 dx^dy 的单一倍数，其系数是一个 2 乘 2 行列式。
符号规则取决于阶数，而不取决于这些形式作为数是否可交换。奇数阶的形式与自身相楔总为零（奇阶的 alpha 有 alpha^alpha = 0），但偶数阶的形式未必如此：2-形式可以与自身非平凡地相楔，正如辛形式那样。