1-形式（1-form）
1-形式是最简单而有趣的微分形式：在每一点它都是一把线性量尺，吃进一个向量返回一个数。最清晰的画面是等高线地图。由高度函数 f 造出的 1-形式 df，是这样一个装置：你递给它一个迈步的方向与长度，它就告诉你爬升了多少。它的等位集就是等高线，等高线密的地方这个 1-形式就密，地势平坦的地方就稀疏。
在坐标下，1-形式形如 omega = P dx + Q dy + R dz，其中 P、Q、R 是函数，而 dx、dy、dz 是读取你所喂入向量的 x、y、z 分量的基本 1-形式。把向量 v = (a, b, c) 喂给 dx 返回 a，喂给 dy 返回 b，依此类推，所以 omega(v) = P a + Q b + R c——当你把 omega 等同于场 (P, Q, R) 时这就是普通点积。标量 f 的特殊 1-形式 df 是它的微分，df = f_x dx + f_y dy + f_z dz，这是写成形式的梯度；把 df 作用在 v 上恰好给出 f 沿 v 的方向导数。
1-形式正是你沿曲线积分的对象：omega 沿路径的线积分就是你在向量微积分里已经算过的那种类似做功的量。它也是链式法则的自然语言，因为 1-形式在任何映射下都能干净地拉回（你只需代入）。要紧的是，1-形式是余向量——它住在对偶空间里——这一与向量的区别，在你换到非笛卡尔坐标或走上弯曲曲面的那一刻就变得关键，因为余向量与向量按互逆的规则变换。
设 omega = y dx + x dy。在点 (1, 4) 把向量 v = (2, 3) 喂给它：dx(v) = 2，dy(v) = 3，所以 omega(v) = y*2 + x*3 = 4*2 + 1*3 = 11。注意 omega = d(xy)，所以它是乘积 xy 的微分，沿任意从 (0,0) 到 (1,4) 的路径积分它都给出值的改变量 xy = 4。
1-形式与向量配对给出一个数；这里这个数在任何路径上都一样，因为这个形式是恰当的。
不要把 dx 读成一个可约掉的无穷小标量。作为 1-形式，dx 是向量上的函数：dx(v) 是 v 的 x 分量。经典里 dx 相约掉的记账仍然有效，但那只是因为它是这一精确配对的简写。