微分形式（differential form）

想想你在向量微积分里真正去积分的那些东西。有时你在一个区域上对函数积分（二重或三重积分）。有时你沿曲线积分 F 点乘 dr。有时你在曲面上积分通量 F 点乘 n dA。它们看起来是记号不同的不同运算，可它们其实是同一类动作：把一小块带定向的空间喂进某个装置，读出一个数。微分形式正是这个装置——你放在积分号下面的那个东西。

更精确地说，k 阶微分形式（k-形式）是这样一个对象：在空间的每一点，它吃进 k 个小切向量（一个微小定向 k 维平行多面体的各条棱），返回一个数，而且是反对称地这样做——交换两个输入向量，结果就变号。0-形式就是标量函数 f，不吃向量，直接返回其值。形如 3 dx + x dy 的 1-形式吃一个向量返回一个数；你早已在线积分里见过它的积分。2-形式吃两个向量（一块定向面积），是你在曲面上积分的对象。记号 dx、dy、dz 不是可以随便约掉的非正式符号——它们就是基本的 1-形式，是坐标测量的插槽，其余一切都由它们搭建。

形式之所以是合适的语言，是因为它把定向、维数和换元的雅可比因子变成自动内置的，而不是事后人工拼上去。它把梯度、旋度、散度统一成一个算子（外微分 d），并把格林、斯托克斯、散度三大定理化为单一陈述（广义斯托克斯定理）。它是微分几何、写在时空里的电磁学、哈密顿力学，以及在弯曲或更高维空间上做现代应用分析时的工作记号。