龐加萊－本迪克松定理（Poincare-Bendixson theorem）

在一個平坦的二維世界裡，運動能永遠做的事少得驚人。軌跡不能與自己相交，而平面又太擠、無法混沌地遊蕩——所以長遠來看，它要嘛停下來，要嘛安頓進一個迴圈。龐加萊－本迪克松定理把這個民間直覺化成對平面長期行為的精確而有力的分類。

陳述如下：考慮一個光滑的平面系統，其軌跡在所有未來時間都留在某封閉有界區域內、且不撞上平衡點。則它的長期極限（它的 omega 極限集，即它一再回到附近的點集）必定是一條閉軌——一個週期循環。所以一條有界、避開平衡點的平面軌跡只剩一種命運：螺旋落上一個極限環。慣用的辦法是「困陷區域」技巧：找一個流進得去卻出不來、且內部不含平衡點的環（圓環），定理便保證該環裡有一個極限環。

這是證明非線性平面系統存在週期運動的最有用單一工具，而那種軌道你幾乎寫不出來。它的威力完全來自二維——它依賴若爾當曲線定理（平面中一條閉迴圈把內部與外部分開），正是這點禁止了更複雜的遊蕩。誠實的限制是：它在三維或更高維是錯的。在三維中，有界軌跡可以既避開靜止又避開週期，轉而填滿一個奇異吸引子——這正是離開平面後混沌如何變得可能的原因。