范德波振盪器（van der Pol oscillator）
/ van der POLL /
一般的振子要嘛振鈴衰減至無聲（有摩擦時），要嘛在理想無摩擦情形下，以你給它的任何振幅重複。范德波振盪器做的卻不是這兩者：無論你從什麼振幅出發——很大或很小——它都收斂到同一個穩定振盪，完全由系統自己選定。它是自持節奏的教科書模型，誕生於研究真空管電子電路。
方程是 x'' - mu(1 - x^2) x' + x = 0，正參數 mu 控制效應的強度。把中間那一項看成一種奇特的、隨狀態而變的阻尼，係數為 -mu(1 - x^2)。當 x 很小（|x| < 1）時因子 (1 - x^2) 為正，故阻尼為負——它注入能量，小振盪增長。當 x 很大（|x| > 1）時因子為負，故阻尼為正——它放出能量，大振盪縮小。系統永遠在餵養小擺動、餓死大擺動，並在兩者之間、在單一個穩定極限環上取得平衡。可用龐加萊－本迪克松證明該環存在；除不穩定原點外的每條軌跡都螺旋落上它。
透過本領域的視角，范德波是非線性的招牌例子：它有一條孤立、會吸引的週期軌道，是任何線性系統都造不出來的，而它的存在是靠困陷區域論證與龐加萊－本迪克松定理確立，而非靠任何公式。對小 mu，此環幾乎是光滑的圓；對大 mu，它變成尖銳的「弛豫振盪」——長而緩慢的累積被突然的跳躍打斷——這模擬了神經元的放電、心臟的搏動，以及許多電子與生物時鐘。
對 x'' - (1 - x^2) x' + x = 0（mu = 1），一條從原點附近出發（向外增長）的軌跡與一條從遠處出發（向內縮小）的軌跡，都螺旋落上同一條閉迴圈——那唯一的穩定極限環。
小 x 時負阻尼、大 x 時正阻尼，把每個起始都擠到一個自選的振盪上。
振幅由系統決定，而非由初始條件決定——這是極限環的定義特徵，在任何線性常係數方程中都不可能。注意原點是不穩定平衡點，是唯一到不了該環的軌跡。