無限位能井（particle in a box）
把一個量子粒子關在兩道完全剛硬的牆之間——一段從 x = 0 到 x = L、它永遠無法逃離的線段——然後問它能佔據哪些態。這是最簡單可解的量子系統，堪稱「習題界的氫原子」，而它已經蘊含量子力學最核心的驚奇：粒子不能擁有任意能量。只有一列離散的能量階梯是被允許的，而且連最低的一階都高於零。「侷限」逼出了「量子化」。
這個理想化取位能井內部 V(x) = 0、外部 V = 無限大，因此波函數必須在兩道牆上歸零。井內的不含時薛丁格方程就是 -(hbar^2/2m) d^2 psi/dx^2 = E psi，其解為正弦與餘弦；邊界條件 psi(0) = psi(L) = 0 消去餘弦，並強制 sin(k L) = 0，故 k = n pi / L，n 為正整數。允許的態為 psi_n(x) = sqrt(2/L) sin(n pi x / L)，能量 E_n = n^2 pi^2 hbar^2 / (2 m L^2)。要記住的規律是：能量隨 n^2 成長，也隨 1/L^2 成長，所以井越窄，能階間距越大。
基態能量 E_1 = pi^2 hbar^2 / (2 m L^2) 不為零——粒子永遠無法靜止不動——這個「零點能」是不確定性原理的直接後果：把位置壓進寬度 L 之內，就逼出動量的最小散布。這個模型不只是玩具，它抓住了量子點中電子、共軛分子上離域 pi 電子、以及大致被侷限在原子核裡的核子的物理，也是你第一次看見「邊界條件如何製造出一整組能譜」的地方。
被關在長度 L = 0.5 nm（約一個原子的寬度）盒中的電子，其基態能量 E_1 = pi^2 hbar^2 / (2 m_e L^2) 約為 1.5 eV——正是原子能量的尺度——而換成 10 cm 盒中的彈珠，同一公式給出約 10^-64 J，完全無法測量。侷限量子化只有在原子尺度上才咬得動。
同一條 E_n 正比於 1/L^2 的公式，讓電子的能階達到電子伏特量級，卻讓彈珠的能階小到看不見。
能量隨 n^2（而非 n）成長，所以越往上爬能階越疏——恰與簡諧振子等間距的階梯相反。此外無限高的牆是一種理想化：任何真實的陷阱都有有限深度，這會降低能量，並讓波函數稍微滲漏到井外（即有限方形井）。