簡正模

拿一組耦合的振子——用彈簧連起來的質量塊，或一個分子的原子——一開始看起來糾纏得無可救藥：推一處，全體同時亂晃。但存在一些特殊的集體運動模式，其中每一部分都以同一個單一頻率振盪，且彼此以固定比例運動。這些就是簡正模，而任何運動都是它們的疊加。

在穩定平衡點附近，你把拉格朗日量展開到二次項：L = (1/2) q_dot^T M q_dot - (1/2) q^T K q，其中 M 是質量矩陣、K 是剛度矩陣。尋找形如 q(t) = a e^(i omega t) 的解，導出廣義特徵值問題 (K - omega^2 M) a = 0。特徵值 omega^2 是簡正模頻率的平方，特徵向量 a 是模態形狀。用簡正座標來看，系統解耦成一組互相獨立的簡諧振子。

簡正模無處不在：分子振動（從紅外光譜讀出）、晶格振動（量子化成聲子 phonon）、耦合單擺、以及工程上的振動分析；它也是量子場論的古典前奏——在那裡一個場就是無窮多個各自被量子化的簡正模。唯一要注意的是：整個分解都倚賴小振盪、簡諧近似；在大振幅下，非諧項會把各模態耦合起來，它們就不再獨立了。