自由度

要精確說出「每樣東西在哪裡」，你需要幾個獨立的數字？三維空間中一顆自由質點需要三個；一個剛體需要六個：三個定出質心位置，三個定出它的姿態方位。自由度計算的就是一個系統能獨立運動的方式有幾種。

N 個質點在三維中運動、受 k 個獨立完整約束時，自由度為 3N - k，而這正等於你必須提供的廣義座標個數。每一個自由度貢獻一條二階的尤拉-拉格朗日運動方程（在相空間中等價於兩條一階方程）。

在統計力學中要小心一個微妙之處：能量均分定理對每個「二次型自由度」分配 (1/2) k_B T 的能量，那裡的自由度指的是能量中的二次項，這也是為什麼雙原子氣體比單純數座標所暗示的更複雜。此外，非完整約束會限制可及的速度，卻不減少位形空間的維度，因此運動學上的計數與位形上的計數可能不同。