帕累托严重度模型
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你大概听过一个粗略的说法：“最大的20%案件造成了80%的成本。”这正是帕累托分布的精神，它得名于经济学家维尔弗雷多·帕累托。在保险中，当少数极大损失主导了总额时，它就是刻画理赔严重度的经典模型——这正是责任险、大额财产险和再保险里所见的重尾行为。
帕累托严重度认为：单笔损失超过金额x的概率按x的某次幂下降，而非急剧跌落：大致上，生存概率表现得像(theta/(x+theta))^alpha，其中theta是尺度参数，alpha是控制尾部厚度的形状参数。alpha越小，尾部越重——大额损失相对更可能。一个引人注目的特征是：若alpha为1或更小，理论均值为无穷大；若alpha为2或更小，方差为无穷大。帕累托还有一个对保险很巧妙的性质：超过某个门槛的金额（超出免赔额或起赔点的部分）的分布本身仍是帕累托，这使超额损失再保险的定价变得便于处理。
帕累托是风险高层——也正是再保险公司和资本模型所在之处——的主力模型。由于它的尾部由alpha掌控，把这单一形状参数估准极其重要，也出了名地难：能钉住尾部的数据，恰恰是你为数不多的那些罕见大额理赔。两点诚实的提醒：用主要由中小额理赔拟合出的帕累托，在最要紧的尾部可能做出离谱的外推；而alpha很低的帕累托可能意味着均值无穷大，这是一个数学信号，表明对该风险而言“预期损失”不是一个稳定有限的量——在定价时面对这一点会让人清醒。
一家再保险公司为承保超过100万损失的层级定价。它用形状参数alpha＝1.5的帕累托拟合大额理赔，发现损失超过500万的概率大约只比超过100万小约五倍，而不是薄尾模型给出的那种天文数字般更小的值。由于超过任意门槛的部分仍是帕累托，该层级的预期成本有一个干净的解析式。
幂律尾部：把损失规模翻倍，其概率只是略微下降，而非骤减。
如果拟合出的帕累托形状参数alpha小于等于1，其理论均值为无穷大——这是一个警告，表明对该风险而言“平均损失”不是一个稳定的目标，而且依据有限的尾部数据做外推尤其脆弱。