偏微分方程的阶与线性

在你指望解一个偏微分方程之前，先用两个粗略的标签给它归类，它们就已经告诉了你大半的预期：它的阶，以及它是否线性。阶就是方程里出现的最高阶导数。线性问的是：未知函数及其导数是否只以简单、可相加的方式出现，还是被彼此相乘、被平方、或被送进非线性函数。这两个问题是行家面对一个新方程时首先要问的。

阶是任何单独一项中所取导数的最大总次数：热方程、波动方程与拉普拉斯方程都是二阶的，因为它们的最高项是二阶导数。当未知量 u 及其所有导数都只以一次方出现、且彼此从不相乘时，偏微分方程是线性的——示意地写，就是若干个（系数）乘以（u 的某个导数）之和，其中系数至多依赖于自变量，再加上一个完全不含 u 的项（源项）。若这些系数不含 u，就是线性的；若系数依赖于 u 或其较低阶导数，就是拟线性的；若最高阶导数本身以非线性方式进入，就是完全非线性的。线性偏微分方程在源项为零时是齐次的，否则是非齐次的。

这种分类之所以重要，是因为线性正是让问题可解的关键。对线性偏微分方程，叠加原理成立：解的任意和仍是解，于是你能用简单解相加搭出复杂的答案——这正是分离变量法与傅里叶展开所利用的。相比之下，非线性偏微分方程可能形成激波、破坏叠加，并普遍抗拒闭式解；著名的未解难题（例如纳维-斯托克斯方程的正则性）就活在那里。知道阶就告诉你需要多少边界条件与初始条件。