偏微分方程
常微分方程描述一个只依赖一个变量（通常是时间）的量，并把它的变化率与它的取值联系起来。但物理世界的大部分事物同时依赖好几样东西：金属板里的温度既取决于你在哪里，也取决于你何时观察；吉他弦的高度既取决于沿弦的位置，也取决于时间。偏微分方程（PDE）就是这种多变量函数所满足的方程。它是函数与它的偏导数之间的关系——偏导数是对每个变量单独求斜率、而把其余变量固定时得到的。
具体地说，若 u(x, t) 是未知的场，偏微分方程就是由 u 以及诸如 partial u / partial t、partial u / partial x、partial^2 u / partial x^2 等偏导数搭成的方程。热方程 partial u / partial t = k partial^2 u / partial x^2 就是一行例子：它说某点温度上升的速率等于一个常数乘以该点温度在空间中弯曲的程度。由于偏微分方程只通过导数来约束函数，单独一个偏微分方程并没有唯一解——它有一整族解，你要通过补上空间上的边界条件和时间上的初始条件，来挑出物理上正确的那一个。
偏微分方程是数学物理与连续介质工程的母语。热与化学物质的扩散、弦与鼓面的振动、流体的流动、梁的弯曲、电势与引力势、量子波函数、金融中的期权定价——全都由偏微分方程支配。这门学科比常微分方程更难，恰恰因为解活在更高维里、区域的几何形状也至关重要；大量应用数学就投入在我们能精确求解的少数几个偏微分方程上，以及对其余方程的近似上。
一维波动方程 partial^2 u / partial t^2 = c^2 partial^2 u / partial x^2 支配振动的弦：u(x, t) 是弦在位置 x、时刻 t 的位移，c 是由张力与密度决定的波速。
一个含两个变量的偏微分方程；只有在指定弦两端以及初始形状和速度后，实际运动才被确定。
单独一个偏微分方程是欠定的：它有无穷多解，而边界条件与初始条件并非可有可无的附加项，而是问题真正的组成部分——改变它们就会彻底改变答案。