特征多项式系数与幂和

直接展开 det(xI - A) 既昂贵又笨拙。有一条更干净的路通向特征多项式的系数，它只用到幂 A, A^2, A^3 等的迹。连接的机制是牛顿恒等式，它把特征值的初等对称函数（即特征多项式的系数，至多差个符号）与它们的幂和（即幂的迹）联系起来。

令 p_j = tr(A^j) = sum lambda_i^j，即特征值的第 j 个幂和，并令 e_j 为第 j 个初等对称函数，于是 chi(x) = x^n - e_1 x^(n-1) + e_2 x^(n-2) - ... 直到 (-1)^n e_n。牛顿恒等式给出一个递推：e_1 = p_1，然后 k e_k = e_(k-1) p_1 - e_(k-2) p_2 + ... 直到 (-1)^(k-1) p_k。知道迹 p_1, ..., p_n 便逐个交给你全部系数 e_1, ..., e_n。

关键是你计算 tr(A^j) 时根本无需找出特征值：只需取矩阵幂并求对角线之和。于是整个特征多项式从迹的算术中浮现，既绕开了求特征值，也绕开了行列式的置换求和展开。法捷耶夫-勒维耶算法正是把这个想法封装成一个优雅的循环，它顺带还产生伴随矩阵与逆。

它为何重要：它揭示特征多项式的系数是谱的对称函数，它给出一条适合符号计算的、无需行列式的计算路径，并使诸如“特征值之和 = 迹”“特征值之积 = 行列式”这类恒等式变得透明——它们是同一族中的首项与末项。幂和与系数是同一个谱的两种编码。