自然对数

正如底 10 给出常用对数，底 e ≈ 2.718 给出自然对数。它回答的是：e 的几次方等于这个数？因为 e 是连续增长的自然节律，它的对数便成了度量这种增长需时多久的自然工具。

我们把它写作 ln(x)，是 log_e(x) 的简写。所以 ln(x) = y 恰好意味着 e^y = x。它只接受正的输入，在 x = 1 处等于 0，在 x = e 处等于 1。自然对数是自然指数函数的精确反函数，因此在合法输入下 ln(e^x) = x 且 e^(ln x) = x。

自然对数是求解连续增长与衰减问题的主力。当一个量遵循 a · e^(kt)，对两边取 ln 就能把未知数 t 从指数上拉下来，化为普通的算术。这正是为什么半衰期和连续利息的公式中布满了 ln。