自然指数函数

在所有指数函数 b^x 中，有一个底数太过便利，以至于数学家把它当作默认选择。这个底数就是数 e ≈ 2.718，而函数 e^x 被称为自然指数函数，常写作 exp(x)。它是描述物理、生物和金融中平滑、连续的增长与衰减的那个指数函数。

和所有底数大于 1 的指数函数一样，e^x 永远为正、经过 (0, 1)、随 x 增大而上升，并以 x 轴为左侧的水平渐近线。它的特殊之处在于一个微积分性质：e^x 是它自身的导数，也就是说它在任意一点的陡峭程度都等于该点的函数值。没有别的底数能精确地做到这一点。

实际操作中，任何写成 a · b^t 的增长或衰减模型都可以改写成自然形式 a · e^(kt)，其中 k 是单一的速率常数：k > 0 表示增长，k < 0 表示衰减。正是这种统一的形式，使科学家压倒性地偏好以 e 为底，而非像 1.07 或 0.83 这样杂乱的底数。