复数乘法

复数相乘就像用 FOIL 法把两个二项式相乘——逐项相乘，乘遍所有组合——只是末尾多一步：凡出现 i^2 的地方，都替换成 -1。这唯一的替换正是复数乘法与普通代数的全部区别。

展开来算：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2，再用 i^2 = -1 把 bdi^2 变成 -bd，得到 (ac - bd) + (ad + bc)i。乘积的实部是 ac - bd，虚部是 ad + bc。

这里藏着一个美妙的几何含义：乘以一个复数会同时拉伸并旋转整个平面。模相乘，辐角相加，所以 |zw| = |z||w| 且 arg(zw) = arg(z) + arg(w)。例如乘以 i，大小不变，但把一切逆时针旋转四分之一圈。极坐标形式让这条规则毫不费力。