虚数单位

虚数单位是一个全新的数，记作 i，它被发明出来是为了回答实数拒绝回答的一个问题：什么数的平方是负数？没有任何实数能做到，因为正数乘正数是正数，负数乘负数也是正数。于是数学家干脆规定了一个新数 i，并赋予它唯一的定义规则：i 乘以 i 等于负一。可以把它看作往数系里加入的一种全新“配料”，而不是普通数轴上能找到的数。

形式上，i 满足 i^2 = -1。一切其余结论都由这条规则推出。i 的幂以四为周期循环：i^1 = i，i^2 = -1，i^3 = -i，i^4 = 1，然后重复。一旦允许使用 i，方程 x^2 = -1 终于有了解，即 x = i 和 x = -i。

一个常见误区：人们把 i 写成 sqrt(-1)，这是个有用的简写，但要小心。熟悉的规则 sqrt(a) 乘 sqrt(b) = sqrt(ab) 对负数并不成立，所以写成 sqrt(-1) 乘 sqrt(-1) = sqrt(1) = 1 是错的——正确答案是 -1。拿不准时，永远回到定义规则 i^2 = -1。