多維伊藤公式（multidimensional Ito formula）
/ EE-toh /
多維伊藤公式把變數變換律推廣到由多個布朗運動驅動的多個半鞅之函數。這正是做實際工作所需：多數模型生活在多維中（一籃資產、一組耦合 SDE、空間中粒子的位置），而二階修正如今涉及一整個矩陣的交叉項，不再只是單一的 (1/2) f''。相對於純量情形，新增的成分是各分量之間的二次協變差（quadratic covariation）。
令 X = (X^1, ..., X^d) 為連續半鞅向量，f : R^d -> R 二次連續可微。則 f(X_t) = f(X_0) + sum_i integral_0^t partial_i f(X_s) dX^i_s + (1/2) sum_{i,j} integral_0^t partial_i partial_j f(X_s) d[X^i, X^j]_s，其中 partial_i f 是第 i 個偏導、partial_i partial_j f 是黑塞（Hessian）矩陣元、[X^i, X^j] 是分量 i 與 j 的二次協變差。以 SDE 形式，若 dX^i = b^i dt + sum_a sigma^{i a} dB^a，B^1, ..., B^m 為獨立布朗運動，則 d[X^i, X^j] = (sum_a sigma^{i a} sigma^{j a}) dt = (sigma sigma^T)^{i j} dt，故修正項為 (1/2) sum_{i,j} partial_i partial_j f * (sigma sigma^T)^{i j} dt，亦即黑塞矩陣與擴散矩陣 a = sigma sigma^T 的跡。速記乘法表為 dB^a dB^b = delta_{ab} dt（獨立布朗運動的協變差為零，單一布朗運動有 [B^a] = t）及 dB^a dt = (dt)^2 = 0。一階和就是普通的梯度乘增量，與古典多變數微積分一模一樣；矩陣型的二階和才是新的。
這是擴散過程的主力。把修正寫成 (1/2) trace(a D^2 f) 立即顯示二階算子 L f = sum b^i partial_i f + (1/2) sum a^{i j} partial_i partial_j f 是擴散的生成元：f(X_t) - integral_0^t L f(X_s) ds 是局部鞅，這就是多維的丁金／伊藤到生成元的連結，也是通往費曼-卡茨以及與橢圓型、拋物型 PDE 連繫的路徑。誠實的提醒承襲過來並再添一條：f 必須 C^2；公式針對伊藤約定（斯特拉托諾維奇服從普通鏈鎖律）；而關鍵在於交叉項 d[X^i, X^j] 一般並不為零——唯有當驅動的布朗運動獨立且擴散矩陣為對角時，非對角的修正才消失。忘掉 i != j 的協變差項，是多維伊藤計算中最常見的錯誤。
令 B^1, B^2 為獨立布朗運動，f(x, y) = x y。黑塞矩陣有 partial_x partial_y f = 1、對角為零，而因布朗運動獨立故 [B^1, B^2] = 0。伊藤給出 d(B^1 B^2) = B^2 dB^1 + B^1 dB^2 + d[B^1, B^2] = B^2 dB^1 + B^1 dB^2（無修正）。但若兩座標改為同一個布朗運動，f(B, B) = B^2 便拾起對角項 d[B] = dt，還原 d(B^2) = 2B dB + dt——決定修正的是協變差，而非獨立性。
獨立分量的協變差為零（無交叉修正）；共用驅動則帶回 dt 項。
非對角修正 (1/2) partial_i partial_j f d[X^i, X^j] 只有在各分量二次協變差為零（驅動獨立、擴散對角）時才消失；切勿假設修正只是若干單變數 (1/2) f'' d[X^i] 項之和。