費曼-卡茨公式（Feynman-Kac formula）
/ FINE-mun KATS /
費曼-卡茨公式是把某類偏微分方程轉化為對擴散路徑取期望的字典。它說：要解微分算子為某擴散生成元的拋物型或橢圓型 PDE，你只需沿對應擴散的軌跡對邊界／終端資料取平均即可。這是機率與 PDE 連結最深刻的表現：一個確定性的場方程藉由對隨機路徑做蒙地卡羅來求解，反之對路徑的期望藉由解 PDE 來計算。
拋物型（終值）形式：若 X 解 dX = b(X) dt + sigma(X) dB、生成元為 L，而我們要求 u(t, x) 解 partial_t u + L u - r(x) u + g(x) = 0 於 [0, T) 且終端條件 u(T, x) = h(x)，則 u(t, x) = E[ h(X_T) exp(- integral_t^T r(X_s) ds) + integral_t^T g(X_s) exp(- integral_t^s r(X_u) du) ds | X_t = x ]。其中 r 是折現／殺死率（位勢），g 是源項。證明想法很乾淨：對過程 Y_s = u(s, X_s) exp(- integral_t^s r du) 加上累積源項套用伊藤公式；因為 u 解該 PDE，漂移項恰好相消，留下一個鞅，在 t 到 T 間取期望即得公式。橢圓型版本表示 L u - r u + g = 0 於區域 D 帶邊界資料的解，使用擴散運行至首次離開 D（離開時間 tau）：u(x) = E_x[ h(X_tau) exp(-integral_0^tau r ds) + integral_0^tau g(X_s) e^(...) ds ]。
費曼-卡茨之所以重要，是因為它使高維 PDE（熱方程、布萊克-休斯方程、屏蔽泊松與薛丁格型問題）可藉模擬計算，並給出存在性與正則性的乾淨機率證明。誠實的警告：該表示要求 PDE 適定且期望有限——殺死項 r 只能謹慎地取負，因為 exp(- integral r) 可能爆炸（這是卡茨位勢／譜的微妙之處，也正是薛丁格特徵值問題棘手的原因）。還需可積／增長條件，使證明中的局部鞅是真鞅（一致可積或諾維科夫型條件），以及邊界正則性，使擊中邊界行為良好。古典的費曼路徑積分是這個誠實機率公式的形式解析延拓。
布萊克-休斯定價就是費曼-卡茨，其中 L 是幾何布朗運動的生成元、r 是常數利率：到期支付 h(S_T) 的歐式選擇權在時刻 t 的價格為 u(t, S) = E*[ e^(-r(T-t)) h(S_T) | S_t = S ]（在風險中性測度下），且 u 解 partial_t u + r S partial_S u + (sigma^2/2) S^2 partial_SS u - r u = 0。折現因子 e^(-r(T-t)) 正是 exp(-integral r) 那一項。
布萊克-休斯作為費曼-卡茨：選擇權價格是解某拋物型 PDE 的折現期望。
公式需要證明中的局部鞅是真鞅（一個可積／諾維科夫型條件）且期望有限——負位勢 r 可使 exp(-integral r) 爆炸，這正是薛丁格／譜問題中的微妙之處。