向後與向前柯爾莫哥洛夫方程（Kolmogorov equations）
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向後與向前柯爾莫哥洛夫方程是支配馬可夫轉移函數的兩個偏微分方程，由對半群律 P_(t+s) = P_t P_s 以兩種不同方式微分而得。它們是過程的分析化身：一個演化可觀測量，另一個演化機率密度，兩者合起來正是擴散理論把機率與 PDE 相連的方式。
向後方程：把 P_(t+s) = P_s P_t 在 s = 0 處從「左」作用微分，得 d/dt P_t = A P_t，即對 u(t, x) = (P_t f)(x) = E_x[ f(X_t) ]，此函數解 du/dt = A u，初值 u(0, .) = f，其中 A 作用於「向後」（起點）變數 x。這是期望的方程，也是費曼-卡茨的底層方程。向前方程：從「右」微分得 d/dt P_t = P_t A；就密度而言，若 X_t 有密度 p(t, y)（或轉移密度 p_t(x, y) 視為終點 y 的函數），它解 dp/dt = A^* p，其中 A^* 是生成元的「形式伴隨」，作用於向前（終點）變數。對生成元 A f = (1/2) sum a_(ij) d_i d_j f + sum b_i d_i f 的擴散，伴隨給出福克-普朗克方程 dp/dt = (1/2) sum d_i d_j (a_(ij) p) - sum d_i (b_i p)——一個輸運機率質量的守恆律。
重要性：這兩個方程讓你藉由解 PDE 來計算期望（向後）或分布（向前），其定態形式給出調和函數（A u = 0）與不變密度（A^* p = 0）。值得謹記的誠實提醒：向前方程要求密度存在、且係數夠光滑以取伴隨導數，而向後方程要求 f 在定義域中——兩者未必同時有效；邊界條件不同（向後變數承載定義域的邊界行為，向前變數承載質量通量條件）；且「A^* 是伴隨」是相對於勒貝格（或參考）測度而言，故福克-普朗克的精確形式依賴該選擇——在不變測度下圖像大幅簡化（可逆性使 A 自伴）。
對布朗運動 A = (1/2) d^2/dx^2 自伴，故向後與向前方程合而為熱方程 dp/dt = (1/2) d^2 p/dx^2。對歐恩斯坦-烏倫貝克生成元 A f = -x f' + f''，伴隨不同：A^* p = (xp)' + p''，其定態解 A^* p = 0 是高斯密度 p 正比於 e^(-x^2/2)，即不變測度。
向後以 A 演化期望；向前（福克-普朗克）以伴隨 A^* 演化密度；對自伴的 A 二者重合。
向前（福克-普朗克）方程需要密度存在且係數夠光滑以構成伴隨；向後則需 f 在定義域中。兩者不可互換，且邊界條件不同。