福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation）
/ FOK-er PLANK /
福克-普朗克方程（也稱科爾莫戈洛夫前向方程）是支配擴散的機率密度如何隨時間演化的偏微分方程。若擴散 X_t 解 dX = b(X) dt + sigma(X) dB，且其在時刻 t 的位置有密度 p(t, x)，則 p 滿足一個由擴散生成元的形式伴隨所驅動的拋物型 PDE。它回答的問題是：從已知初始分布出發，這團機率質量如何擴散、漂移、並（可能）安定到穩態？
方程為 partial_t p(t, x) = L^* p(t, x)，其中 L^* 是生成元 L f = sum_i b_i partial_i f + (1/2) sum_{ij} a_ij partial_i partial_j f 的形式伴隨。明確地，L^* p = - sum_i partial_i (b_i(x) p) + (1/2) sum_{ij} partial_i partial_j (a_ij(x) p)，a = sigma sigma^T。第一項是漂移／平流項（沿漂移場 b 輸運質量），第二項是擴散項（把質量抹散開）。將此與後向科爾莫戈洛夫方程 partial_t u = L u 對比，後者在起始點 x 上演化可觀測量 E[f(X_t) given X_0 = x]；前向方程則在終點 x 上演化密度。同一生成元驅動兩者，一個經 L、一個經其伴隨 L^*。平穩（不變）密度是與時間無關的解，由 L^* p = 0 刻畫，在一維中常可顯式求解得 p 正比於 exp(-2 integral b/a) / a（細緻平衡形式）。
福克-普朗克是非平衡統計物理以及任何「分布如何鬆弛」研究的核心工具：它告訴你瞬態擴散、趨近平衡的過程，以及平穩分布。誠實的警告：方程是針對密度的，而密度必須存在——當擴散非退化（一致橢圓）且光滑時密度存在，但退化擴散可能沒有密度（質量集中於子流形），此時福克-普朗克須以弱／測度意義來讀。此外，總機率守恆（integral p dx = 1）只在無爆炸且邊界無通量損失時成立；在有界區域上邊界條件（反射、吸收）是問題的一部分，會改變答案。
對於 OU 過程 dX = -theta X dt + sigma dB，福克-普朗克方程為 partial_t p = theta partial_x(x p) + (sigma^2/2) partial_xx p。平穩解 L^* p = 0 給出 p(x) 正比於 exp(-theta x^2 / sigma^2)，即高斯 N(0, sigma^2/(2 theta))——該擴散的平衡分布。
OU 過程的福克-普朗克方程把其高斯平衡作為穩態 L* p = 0 還原出來。
福克-普朗克支配密度，而密度未必存在——退化（非橢圓）擴散可能把質量放在低維集合上，此時方程只在弱意義下成立。前向方程用伴隨 L*，後向方程用 L 本身；勿混淆兩者。