擴散過程（diffusion process）
擴散過程是具連續路徑的強馬可夫過程，其局部運動由漂移與擴散係數描述——非正式地說，就是「平滑移動但隨機抖動」、沒有跳躍的過程。布朗運動是其原型，而適定 SDE dX = b(X) dt + sigma(X) dB 的解是典型範例。擴散是馬可夫家族中連續狀態、連續時間的成員，也是機率與二階偏微分方程之間的橋樑。
刻畫擴散有兩種等價方式。分析上，它是轉移半群 P_t f(x) = E[f(X_t) given X_0 = x] 由二階橢圓算子 L f = sum_i b_i(x) partial_i f + (1/2) sum_{i,j} a_ij(x) partial_i partial_j f（a = sigma sigma^T 非負）所生成的馬可夫過程；這個 L 是無窮小生成元，是當 t -> 0 時 (1/t)(P_t f - f) 的極限。機率上，擴散恰是具該係數之 SDE 的解（強或弱），等價於 L 的鞅問題的解：對每個光滑緊支 f，f(X_t) - integral_0^t L f(X_s) ds 是鞅。路徑的連續性是內建的，而強馬可夫性讓你能在停時重新起始。漂移 b(x) 是無窮小平均速度，a(x) 是無窮小共變數速率，如漂移與擴散係數條目所述。
擴散是隨機建模的主力——金融（資產價格、利率）、物理（朗之萬動力學）、生物（族群與基因頻率模型），以及 PDE 理論的機率面。與 PDE 的連結正是重點：生成元的拋物方程（後向科爾莫戈洛夫）支配 E[f(X_t)]，前向方程（福克-普朗克）支配密度，費曼-卡茨則藉由對擴散路徑取平均來解邊值問題。誠實的警告：擴散依定義是連續過程（跳躍過程不是擴散——那是李維過程的領域）；而當 a = sigma sigma^T 可退化時，生成元只是橢圓而非嚴格橢圓，此時擴散可能被限制在低維流形上，密度的平滑化可能失效（此時是赫爾曼德條件恢復了次橢圓性）。
奧恩斯坦-烏倫貝克過程 dX = -theta X dt + sigma dB 是擴散，生成元為 L f = -theta x f'(x) + (sigma^2/2) f''(x)。它對每個 t 的轉移密度都是高斯，且當 t -> infinity 時鬆弛到其不變分布 N(0, sigma^2/(2 theta))——該擴散的平穩分布。
OU 過程：具高斯轉移與高斯不變分布的均值回歸擴散。
擴散依定義具連續路徑——跳躍過程不是擴散。當 a = sigma sigma^T 退化時生成元只是橢圓而非一致橢圓，除非赫爾曼德括號條件成立，否則密度可能集中在低維集合上。