算子語言下的不變測度（invariant measure）

不變（或穩定）測度是狀態空間上的一個分布，動力學使之保持不變：若過程以此分布出發，便永久保持它，過程因而成為嚴格平穩。在算子語言下，它是轉移半群特徵值為 1 的天然左特徵對象，支配著過程的長時間行為、遍歷性與平衡態。

兩個等價的算子刻畫。在半群層次，測度 mu 不變意指對所有 t >= 0 有 mu P_t = mu，即對每個有界可測 f 有 integral (P_t f) dmu = integral f dmu——把可觀測量沿時間向前取平均不改變其 mu-平均。在 t = 0 處微分，這變成「生成元」條件 integral (A f) dmu = 0 對所有定義域（核心）中的 f 成立，等價於在形式伴隨意義下 A^* mu = 0——不變密度是向前（福克-普朗克）方程的定態解。在溫和條件下（一個核心論證）這兩個陳述等價，而生成元形式通常更實用：解 A^* p = 0 並以歸一化 integral p = 1。當 mu 不變且過程遍歷時，時間平均依遍歷定理收斂到 mu-平均，這正是通往伯克霍夫與 MCMC 的橋樑。

重要性：不變測度是平衡態；其存在與唯一性控制著過程是否安定、長期抽樣是否有意義。誠實的提醒：不變測度未必存在（像 R^d 中布朗運動這類暫態過程，只有非有限的勒貝格測度為不變測度，無法歸一化為機率），未必唯一（可約動力學有許多），且即使唯一的不變機率存在，「收斂」到它（混合）也是另一個問題，需要額外假設（例如不可約加上 Lyapunov／漂移條件，或譜隙）。不變性說的是成為動力學的不動點；它本身對「是否為吸引不動點」隻字未提。