無窮小生成元（infinitesimal generator）
馬可夫半群的無窮小生成元 A 是「瞬時變化率」算子：它把過程的全部局部動力學收攏在單一對象中。若半群 P_t 描述有限時間的演化，A 描述的是第一個無窮小瞬間發生的事；把這個局部規則積分起來便回復整個流，形式上 P_t = e^(tA)。它回答的問題是：給定過程此刻在 x，可觀測量 f 的平均開始以多快、以何種方式改變？
精確地，A f = lim as t -> 0+ of (P_t f - f) / t，極限在巴拿赫空間範數下取。此極限存在的那些 f 構成定義域 D(A)，而 A 一般是只在這個稠密定義域上定義的「無界」算子。同一事實有兩種等價讀法為核心：把半群律微分得到向後柯爾莫哥洛夫方程 d/dt P_t f = A P_t f = P_t A f（對 f in D(A)），故 A 字面上就是流的時間生成元；而從機率上看，A f(x) = lim (E_x[ f(X_t) ] - f(x)) / t 是 f 沿過程的期望瞬時變化率。對擴散而言生成元是二階橢圓微分算子，A f = (1/2) sum a_(ij) d^2 f / dx_i dx_j + sum b_i df/dx_i，其中 b 是漂移、a = sigma sigma^T 是擴散矩陣；對跳躍過程它是積分算子 A f(x) = integral (f(y) - f(x)) Q(x, dy)，由跳躍率構成；一般而言它是結合漂移、擴散與跳躍的積分-微分算子（李維型）。
重要性：生成元是馬可夫過程最經濟的完整描述——遠比完整轉移函數緊湊——且是通往 PDE（柯爾莫哥洛夫／福克-普朗克）、鞅問題（對 f in D(A)，f(X_t) - f(X_0) - integral_0^t A f(X_s) ds 是鞅）與 Dynkin 公式的橋樑。一個始終存在的提醒：A 僅在其定義域上有定義，不能任意施加於一般函數；許多微妙現象（邊界行為、守恆性、過程的唯一性）正是被編碼在「哪些函數屬於 D(A)」之中，故生成元在給出其定義域之前並未被完整指定。
對標準布朗運動，A f = (1/2) f''。把 E[ f(x + B_t) ] = f(x) + (1/2) f''(x) E[B_t^2] + ... = f(x) + (1/2) f''(x) t + o(t) 泰勒展開，故 (P_t f - f)/t -> (1/2) f''。二階項之所以保留，正是因為 E[B_t^2] = t 是 t 階而非 t^2 階——與伊藤微積分 (dB)^2 = dt 同源。
生成元的二階項是伊藤法則 (dB)^2 = dt 的算子面貌。
離開定義域 D(A)，生成元便毫無意義：邊界條件、守恆性與過程唯一性全都編碼在 D(A) 含有哪些函數之中。