生成元的定義域（domain of the generator）

由於強連續半群的生成元 A 通常無界，它不能施加於巴拿赫空間中的每個函數——只能施加於那些使定義極限 (P_t f - f)/t 收斂的函數。這個集合就是定義域 D(A)。指定 D(A) 並非可以揮手帶過的技術細節：對微分型生成元，它釘住邊界行為、守恆性以及你實際擁有的是哪個馬可夫過程，所以兩個公式相同但定義域不同的算子，是生成不同過程的不同算子。

形式上，D(A) = { f in X : lim as t -> 0+ of (P_t f - f)/t 在 X 中存在 }，而 A : D(A) -> X 是由此得到的線性映射。對任何 C_0 半群皆有若干結構事實：D(A) 是 X 的「稠密」線性子空間（故 A 稠定）；A 是「閉」算子（其圖形閉合，這是無界映射連續性的正確替代品）；半群保持定義域不變，P_t : D(A) -> D(A)，且在 D(A) 上半群可微，d/dt P_t f = A P_t f = P_t A f。實務上抽象的 D(A) 不便操作，故人們改用「核心」（core）：包含於 D(A) 的較小、較具體的子空間 D_0，它在圖範數下於 D(A) 中稠密，且 A 在其上本質確定（A 限制於核心後的閉包等於 A）。對擴散而言，緊支光滑函數 C_c^infinity 是天然的核心候選。

重要性：鞅問題、Dynkin 公式與希爾-吉田都以「對 f in D(A)」（或在某核心上）來陳述，而把定義域弄對正是讓唯一性定理成立的關鍵。經典的警告是半直線上的熱半群：無論施加吸收（狄利克雷）或反射（諾伊曼）邊界條件，公式 A f = (1/2) f'' 都相同，但那是不同的定義域，因而是不同的過程（被殺死的對反射的布朗運動）。辨識一個核心通常是困難的分析步驟；缺了它，宣稱兩個過程「具有相同生成元」可能悄然為假。