希爾-吉田定理（Hille-Yosida theorem）
/ HIL-uh yo-SHEE-dah /
希爾-吉田定理是半群理論的奠基性存在與刻畫結果：它精確回答哪些（可能無界的）算子 A 是某個強連續收縮半群的生成元。這是「對 P_t 微分」的逆方向——給定一個候選的局部規則 A，我們能否把它積分成一個整體的流 P_t = e^(tA)？——它也正是讓我們得以解演化方程、並由生成元構造馬可夫過程的依據。
陳述（收縮情形）：巴拿赫空間 X 上的線性算子 A 生成 C_0 收縮半群，當且僅當 (i) A 稠定且閉；(ii) 每個 lambda > 0 都屬於預解集，即 (lambda I - A) 可逆且逆有界，R(lambda) = (lambda I - A)^(-1)；以及 (iii) 預解式滿足界 ||R(lambda)|| <= 1/lambda 對所有 lambda > 0 成立。深刻的內容在於由預解式構造半群。吉田的想法是吉田逼近 A_lambda = lambda A R(lambda) = lambda^2 R(lambda) - lambda I，它是逼近 A 的「有界」算子；對有界算子，e^(t A_lambda) 由通常的冪級數定義，並可證當 lambda -> infinity 時 e^(t A_lambda) 強收斂到一個極限半群，其生成元正是 A。預解式本身是半群的拉普拉斯變換，R(lambda) f = integral_0^infinity e^(-lambda t) P_t f dt，這便是把兩個對象繫在一起的公式。
重要性：希爾-吉田把「我有一個生成元」轉化為「我有一個過程／流」，因而是費勒過程、擴散過程與柯爾莫哥洛夫方程解之構造的根基。對馬可夫半群，再加上一個正性條件（預解式把非負函數映為非負函數，且 P_t 1 = 1），便得到 Lumer-Phillips／正極大值原理版本。關鍵的誠實：這些條件「並非」裝飾。驗證值域條件——(lambda I - A) 是滿射——通常是困難之處，也正是過程的存在可能失敗之處；界 ||R(lambda)|| <= 1/lambda 是收縮（次馬可夫）要求，把它放寬為 ||R(lambda)|| <= M/(lambda - omega) 便給出針對成長率 ||P_t|| <= M e^(omega t) 的半群之一般（非收縮）希爾-吉田-菲利普斯定理。
取 C_0(R) 上的 A = (1/2) d^2/dx^2，定義域為在無窮遠處連同二階導數皆趨零的 C^2 函數。可驗證 (lambda I - A) f = g 可解，其預解式 R(lambda) 是對 (1/sqrt(2 lambda)) e^(-sqrt(2 lambda) |x|) 作卷積，且 ||R(lambda)|| <= 1/lambda。於是希爾-吉田構造出熱半群——也就是布朗運動。
由 (lambda I - A) 上的預解式界，希爾-吉田製造出整個半群 P_t = e^(tA)。
困難且常失敗的假設是值域條件（lambda I - A 為滿射）——正是過程的存在／唯一性可能崩潰之處；範數界則是收縮（次馬可夫）要求。