預解方程（resolvent equation）

預解方程（或第一預解恆等式）是把不同譜參數 lambda 處的預解式繫在一起的代數關係。它看似一個小小的運算事實，卻正是使預解式成為一個連貫、分析上良好的族——尤其它顯示預解式是 lambda 的光滑（實則解析）算子值函數，這是函數演算與譜論背後的引擎。

陳述：對預解集中的 lambda, mu，R(lambda) - R(mu) = (mu - lambda) R(lambda) R(mu)。推導是純代數：寫 R(lambda) - R(mu) = R(lambda) [ (mu I - A) - (lambda I - A) ] R(mu) = R(lambda)(mu - lambda) R(mu)。立刻得到兩個推論。第一，不同 lambda 的預解式「可交換」：R(lambda) R(mu) = R(mu) R(lambda)，因右側在 lambda, mu 中以一種逼出此結論的方式反對稱。第二，除以 (mu - lambda) 並令 mu -> lambda，顯示 R 在 lambda 上可微，d/dlambda R(lambda) = - R(lambda)^2，迭代後第 n 階導數為 (-1)^n n! R(lambda)^(n+1)；因此 lambda -> R(lambda) 在預解集上解析，具收斂的（諾伊曼型）冪級數展開 R(mu) = sum (lambda - mu)^n R(lambda)^(n+1)。

重要性：預解式的解析性是全純函數演算（用 f(z) R(z) 的圍道積分定義 f(A)）、算子擾動理論（A 受擾動時特徵值如何移動）以及反演拉普拉斯變換由 R(lambda) 回復 P_t 的基礎。在馬可夫情境下，此恆等式表達一種機率上的重啟：先以速率 lambda 折現再以速率 mu 折現，與路徑只跑一次一致，這正是雙參數族塌縮為單參數流的緣由。此恆等式純屬代數，僅需 lambda 與 mu 皆在預解集中——除此之外不需 A 的額外正則性。