預解算子（resolvent operator）

預解式是半群的拉普拉斯變換，是把動態、微分型的對象 A（生成元）轉化為一個可以實際運算的友善有界算子的主力工具。生成元無界且只活在某定義域上，而預解算子 R(lambda) 有界且處處有定義，故半群理論的許多工作都透過它進行。從機率上看，它是「指數折現總報酬」的算子。

定義：對 lambda > 0（更一般地在預解集中），R(lambda) = (lambda I - A)^(-1)。等價地——這是關鍵恆等式——它是半群的拉普拉斯變換，R(lambda) f = integral_0^infinity e^(-lambda t) P_t f dt。從機率上讀右側，(R(lambda) f)(x) = E_x[ integral_0^infinity e^(-lambda t) f(X_t) dt ] 是沿路徑收集的報酬 f 之期望總和，以速率 lambda 折現。由收縮性 ||P_t|| <= 1 得 ||R(lambda)|| <= 1/lambda。預解式為單射，值域為 D(A)，在 D(A) 上滿足 A R(lambda) = lambda R(lambda) - I 與 R(lambda) A f = lambda R(lambda) f - f，並在極限 lambda R(lambda) f -> f（當 lambda -> infinity）下回復生成元；事實上 A f = lim lambda (lambda R(lambda) f - f)。不同的 lambda 由預解方程繫在一起。

重要性：預解式是希爾-吉田定理陳述與證明的方式（其界即生成判準，半群由它重建），是定義生成元的函數與分析譜的方式，也是求解定態問題的方式：(lambda I - A) u = f 是演化方程的「已解／折現」版本。折現是不可或缺的——沒有因子 e^(-lambda t)，P_t f 的時間積分一般發散，故 lambda > 0 並非可選；正是這個折現率讓終生報酬有限、讓逆算子有界。