轉移半群（transition semigroup）
轉移半群是一族線性算子 (P_t)_(t >= 0)，馬可夫過程透過它作用在狀態的函數上。它是算子方法的核心對象：我們不追蹤樣本路徑，而是觀察可觀測量如何演化。定義 (P_t f)(x) = E_x[ f(X_t) ] = integral f(y) p_t(x, dy)——從 x 確定性出發後 t 單位時間，可觀測量 f 的期望值。隨 t 與 x 變動，P_t f 是一個新函數，整套理論研究的就是 f -> P_t f 的動力學。
它之所以是半群，是因為查普曼-柯爾莫哥洛夫給出 P_(t+s) = P_t P_s 且 P_0 = I。三個結構事實使它在分析上易於處理。第一，P_t 保正且是馬可夫算子：f >= 0 蘊含 P_t f >= 0，且 P_t 1 = 1（常數被保持——總機率守恆）。第二，在適當的函數巴拿赫空間上（常是在無窮遠處趨零的連續函數 C_0(E)，或某個 L^p(mu) 空間），它是收縮算子：P_t f 的上確界範數或 L^p 範數絕不超過 f 的，因為取平均不會抬高最大值。第三，在適當空間加上連續性假設下，它是強連續的，意即當 t -> 0 時 P_t f -> f。這三個性質正是讓我們得以定義生成元並援引希爾-吉田定理的依據。
重要性：每個機率問題都化為算子問題。穩定測度就是滿足 mu P_t = mu 的 mu（特徵值為 1 的左特徵測度）；生成元 A 是 t 在 0 處的導數；向後柯爾莫哥洛夫方程是 d/dt P_t f = A P_t f；可逆性即 P_t 在 L^2(mu) 中的自伴性。巴拿赫空間的選擇並非裝飾：一個半群可能在 C_0(E) 上強連續（費勒），但在有界可測函數空間上僅 weak-* 連續，而生成元的定義域依賴於空間，故必須言明在哪個空間上工作。
對歐恩斯坦-烏倫貝克過程 dX = -X dt + sqrt(2) dB，轉移半群是梅勒算子 (P_t f)(x) = E[ f( e^(-t) x + sqrt(1 - e^(-2t)) Z ) ]，其中 Z ~ N(0,1)。當 t -> infinity 時，P_t f -> integral f d(gamma)，即對標準高斯（唯一不變測度）取平均。
P_t f 把可觀測量在「過程於時刻 t 可能所在之處」上取平均；長時間下鬆弛到不變測度均值。
務必言明 P_t 作用於哪個巴拿赫空間：強連續性與生成元的定義域依賴於空間（C_0(E) 給出費勒理論；L^2(mu) 給出對稱／狄利克雷形式理論）。