費勒半群（Feller semigroup）
/ FEL-er /
費勒半群是費勒過程背後的算子論對象：它是一類特定的強連續收縮半群，作為良好馬可夫過程的轉移半群而出現，且可純粹由算子的性質辨識，無須先構造任何過程。它是把希爾-吉田從抽象巴拿赫空間半群特化到馬可夫動力學的橋樑。
定義：在巴拿赫空間 C_0(E)（局部緊可分度量空間上在無窮遠處趨零的連續函數，配上確界範數）上，費勒半群是一族算子 (P_t)_(t >= 0)，滿足 (1) 為 C_0（強連續）半群，(2) 次馬可夫且保正——0 <= f <= 1 蘊含 0 <= P_t f <= 1（若另有 P_t 1 = 1 則守恆／馬可夫）——以及 (3) 收縮，後者由保正性與 P_t 1 <= 1 已自動給出。刻畫定理是希爾-吉田的馬可夫版本：稠定算子 A 生成費勒半群，當且僅當 A 可閉化，其閉包對某些／所有 lambda > 0 滿足值域條件「(lambda I - A) 具稠密值域」，且 A 滿足「正極大值原理」——若 f in D(A) 在 x_0 取得非負最大值，則 (A f)(x_0) <= 0。正極大值原理是機率守恆的算子指紋：經由 Courrège 定理，它正是逼使 A 具備積分-微分李維型（漂移 + 非負定擴散 + 非負跳躍核）的條件。
重要性：費勒半群框架是由生成元構造並分類行為良好之馬可夫過程的方式，而正極大值原理正是（在希爾-吉田之外）區分「馬可夫」半群生成元與任意收縮半群生成元的精確附加條件。誠實的提醒：「費勒半群」有時定義為次馬可夫（容許質量流失，P_t 1 <= 1，模擬殺死／爆炸），有時定義為守恆（P_t 1 = 1）；這個區別要緊，因為次馬可夫半群對應的過程可能被殺死或爆炸，而守恆性是一個真實、可檢驗的性質，並非理所當然。
正極大值原理釘住生成元的形式：對 A f = (1/2) f'' + b f'，若 f 在 x_0 有非負最大值，則 f'(x_0) = 0 且 f''(x_0) <= 0，故自動有 (A f)(x_0) <= 0。由 Courrège 定理，「任何」遵守此原理的算子皆具李維型形式（漂移 + 擴散 + 跳躍核）——別無其他費勒生成元。
正極大值原理是機率守恆的算子指紋，並逼使生成元採取李維型形式。
留意慣例：「費勒半群」可能指次馬可夫（P_t 1 <= 1，容許殺死／爆炸）或守恆（P_t 1 = 1）；守恆性是須驗證而非假設的性質。