李維過程的生成元（generator of a Lévy process）
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李維過程的生成元是描述其無窮小演化的算子——轉移半群 P_t f(x) = E[f(x + X_t)] 在零處的時間導數。對李維過程，此生成元有一個鮮明的雙重面貌：在傅立葉空間中它是對特徵指數 psi 的乘法，使之成為擬微分算子；在實空間中它是積分微分算子，一個二階微分部分加上對跳躍的積分。
具體地，對光滑緊支撐的 f，生成元為 A f(x) = b f'(x) + (1/2) sigma^2 f''(x) + 對 R\{0} 積分 (f(x + y) - f(x) - y f'(x) 1_{|y|<1}) nu(dx)。從李維三元組讀出它：b f' 是漂移輸運，(sigma^2/2) f'' 是布朗擴散（二階橢圓項），積分是跳躍部分——它對每個可能的跳幅 y，以李維測度加權，比較 x+y 處與 x 處的 f，而小跳躍補償 -y f'(x) 確保在 0 附近收斂，正如李維-辛欽中那樣。取傅立葉變換，A 變為乘子 psi：A f 的傅立葉變換等於 psi(theta) 乘以 f 的傅立葉變換，故 A 是符號為 psi 的擬微分算子。半群於是形式上為 P_t = e^(tA)，而 X_t 的律依由 A 生成的（廣義、非局部）Kolmogorov 前向方程演化。
生成元是從李維過程通往偏微分方程與一般馬可夫理論的橋樑：它把李維過程置於 Feller 類中，給出 Dynkin 公式與鞅問題，並把機率問題轉化為非局部算子的分析（分數拉普拉斯算子 -(-Delta)^(alpha/2) 恰是對稱 alpha-穩定過程的生成元）。注意點：此算子是「非局部」的——A f(x) 透過跳躍積分依賴於遠離 x 處的 f 值——故跳躍過程的偏積分微分方程與擴散的局部偏微分方程確實不同，二階橢圓方程的直覺不能整體套用。
對布朗運動（b=0, sigma=1, nu=0）生成元為 A = (1/2) d^2/dx^2，即古典熱算子。對對稱 alpha-穩定過程（sigma=0, nu(dx)=c|x|^(-1-alpha)dx）生成元為分數拉普拉斯算子 A = -c(-Delta)^(alpha/2)，一個非局部算子，其符號為 -c|theta|^alpha = psi(theta)——跳躍結構化為分數導數。
布朗運動對應拉普拉斯算子；alpha-穩定對應分數拉普拉斯算子。
只要有跳躍，生成元就是非局部的：A f(x) 牽涉遠離 x 處的 f。其傅立葉符號正是特徵指數 psi，這正是同一個 psi 同時控制律（經由 e^(t psi)）與動力學（經由 A）的原因。