特徵指數（characteristic exponent）

單一隨機變數有特徵函數，而李維過程有特徵指數：用單一函數 psi 透過時間刻畫過程的全部分布。它是理論的天然未知量，因為由平穩獨立增量，整個多時刻結構都由一個指數隨時間線性作用而生成。

若 (X_t) 是 X_0 = 0 的李維過程，則對所有 t >= 0 有 E[e^(i theta X_t)] = e^(t psi(theta))，其中 psi 即特徵指數。指數中的因子 t 是平穩獨立增量的標誌：[0, t] 上的增量是 n 個長度 t/n 區間上增量之和，每個指數為 (t/n) psi，而特徵函數相乘。由李維-辛欽，psi 具典範形式 psi(theta) = i b theta - (1/2) sigma^2 theta^2 + 積分 (e^(i theta x) - 1 - i theta x 1_{|x|<1}) nu(dx)。映射 t -> psi 在分布意義下完全決定過程，且 psi 也是該過程生成元的符號：生成元作用於光滑 f 時是傅立葉乘子為 psi 的擬微分算子。

特徵指數是幾乎一切計算的工作座標：從屬（subordination）對應指數的複合，穩定過程恰是那些 psi 對 theta 為齊次者，而 X_t 的動差（若存在）來自 psi 在 0 處的導數。一個注意點：e^(t psi) 對所有 t 都是特徵函數，要求 psi 為李維-辛欽型；任意滿足 psi(0) = 0 的連續 psi 未必能指數化為有效族——例如 psi(theta) = -|theta|^alpha 僅在 0 < alpha <= 2（穩定區間）才可行。