李維-辛欽公式（Lévy-Khintchine formula）
/ lev-EE KHIN-chin /
李維-辛欽公式以特徵函數完整分類了無窮可分律：它精確回答哪些函數 psi 能作為某無窮可分特徵函數的對數，並把 psi 拆成三個一目了然的部分——漂移、高斯曲率、跳躍積分。它是整個理論的結構脊樑：把無窮可分性那個分析上彆扭的摺積條件，轉化為乾淨、可參數化、具幾何意義的描述。
定理表述為：phi(theta) = E[e^(i theta X)] 是 R 上某無窮可分律的特徵函數，若且唯若 phi(theta) = exp(psi(theta))，其中 psi(theta) = i b theta - (1/2) sigma^2 theta^2 + 對 R\{0} 積分 (e^(i theta x) - 1 - i theta x 1_{|x|<1}) nu(dx)。此處三元組 (b, sigma^2, nu)——漂移 b 屬於 R、高斯變異數 sigma^2 >= 0、R\{0} 上的李維測度 nu 且 min(1, x^2) 對 nu(dx) 的積分有限——是唯一的。補償項 -i theta x 1_{|x|<1} 正是當小跳躍累積時讓積分在零附近收斂所需；大跳躍（|x| >= 1）本身可加。在 1 處截斷僅是約定：改變它只會平移 b。
此公式解釋了每個具名過程的參數：帶漂移的布朗運動為 (b, sigma^2, 0)；複合卜瓦松過程為 (0, 0, lambda F)，F 為機率律；伽瑪過程與穩定過程都有明確的 nu。它也給出對應李維過程的生成元，為以 psi 為符號（symbol）的擬微分算子。一個標準陷阱：被積函數與截斷必須同進退——若引用 psi 時用 e^(i theta x) - 1 的被積函數卻無補償項，只有在 min(1,|x|) 對 nu(dx) 的積分有限（有限變差跳躍）時才合法，否則積分發散。
對稱柯西律由公式得 sigma^2 = 0 且 nu(dx) = c |x|^(-2) dx，故 psi(theta) = -c' |theta|；標準布朗運動為 psi(theta) = -(1/2) theta^2 且 nu = 0；卜瓦松(lambda) 的跳躍全為大小 1，故 nu = lambda delta_1 且 psi(theta) = lambda(e^(i theta) - 1)。
從三個經典律直接讀出三元組 (b, sigma^2, nu)。
三元組僅相對於所選截斷函數（此處 1_{|x|<1}）才唯一；漂移 b 並非與座標無關，但 sigma^2 與 nu 是。不要比較用不同截斷算出的兩個漂移。