李維-伊藤分解（Lévy-Itô decomposition）
/ lev-EE ee-TOH /
李維-辛欽公式告訴你李維過程的律；李維-伊藤分解告訴你它的路徑。它是三元組 (b, sigma^2, nu) 的逐路徑實現：把任意李維過程明確地建構為確定性漂移、獨立布朗運動，以及由跳躍的卜瓦松隨機測度組裝出的獨立跳躍部分之和。
定理表述為：任意李維過程 X_t 幾乎必然可寫成 X_t = b t + sigma B_t + 對 (|x| >= 1) 積分 x N(t, dx) + 對 (0 < |x| < 1) 積分 x (N(t, dx) - t nu(dx))。此處 B_t 為標準布朗運動，N(t, dx) 為計數 X 到時刻 t 跳躍的卜瓦松隨機測度，強度為 dt nu(dx)，第三項是大跳躍的（有限）和，第四項是小跳躍的補償積分，它作為鞅在 L^2 中收斂正是因為 (|x|<1) 上 x^2 對 nu(dx) 的積分有限。這四部分相互獨立，且連續部分 (b t + sigma B_t) 與跳躍部分獨立。大跳躍必須原樣加入（若 nu 尾部很重，其補償項可能發散），而小跳躍必須補償（若零附近太密，其原始和可能發散）——這正是小跳躍對大跳躍之分的操作意義。
這是本領域的結構性定理：它使「把李維過程視為連續擴散加跳躍」合理化，是跳躍過程伊藤公式的途徑，也是模擬的基礎（模擬布朗運動、把大跳躍當複合卜瓦松過程模擬、近似小跳躍）。須尊重的微妙處：小跳躍項一般「不是」其跳躍在通常意義下之和——當 |x| 對 nu(dx) 的積分在零附近發散時，只有「補償後」之和收斂，去掉補償項會得到發散、無意義的式子。
伽瑪過程的李維測度為 x > 0 上的 nu(dx) = c x^(-1) e^(-x) dx；在零附近其積分為 x^(-1) 故跳躍不可加，然而 x nu(dx) ~ c e^(-x) dx 可積，使其為有限變差。其李維-伊藤形式中 sigma = 0、無需補償，過程是其（可數無窮多個）正跳躍的遞增極限。
漂移 + 布朗 + 大跳躍 + 補償後小跳躍，逐路徑明確化。
分界點 |x| = 1 是約定；移動它只改變漂移 b。小跳躍的補償在 nu 於零附近不可積時是強制的——否則可把跳躍部分寫成普通和，並把其均值併入 b。