作為半群性質的查普曼-柯爾莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov）
/ CHAP-man kol-mo-GO-rov /
查普曼-柯爾莫哥洛夫方程是馬可夫轉移函數必須遵守的唯一相容律，也是整套算子-半群機制的源頭。用白話說：要從 x 出發、在時間 t+s 後落入 B，你在中間時刻 t 必定身在「某處」，然後再走剩下的時間 s。對所有中間位置求和（積分），就由兩段較短的轉移重建出較長的轉移。這並非疊加在馬可夫性上的額外假設；它就是把馬可夫性寫成轉移函數的形式。
用核寫出，p_(t+s)(x, B) = integral over E of p_s(y, B) p_t(x, dy)，對所有 t, s >= 0 成立。關鍵的重新詮釋是算子化的。定義轉移算子 (P_t f)(x) = integral f(y) p_t(x, dy)。則查普曼-柯爾莫哥洛夫變成乾淨的代數等式 P_(t+s) = P_t P_s，且 P_0 = I（恆等算子）。滿足 P_(t+s) = P_t P_s 與 P_0 = I 的單參數算子族就是一個單參數半群——與數的指數律 e^((t+s)a) = e^(ta) e^(sa) 同構。因此「查普曼-柯爾莫哥洛夫」與「(P_t) 構成半群」是同一件事的兩個名字，它們也解釋了為何我們最終能對某個生成元 A 寫出 P_t = e^(tA)。
重要性：半群觀點把機率動力學轉化為函數空間上的線性代數／分析，其中生成元 A = d/dt P_t 在 t = 0 處成為核心對象，而把 P_(t+s) = P_t P_s 微分便導出 PDE（柯爾莫哥洛夫方程）。值得言明的細節：算子的合成一般「不」可交換，但此處 P_t P_s = P_s P_t = P_(t+s)，因為它們是同一單參數流的冪；這種時間上的可交換性正是「時間齊次」所帶來的好處，對於時間非齊次（顯含 t）的動力學則不成立。
對布朗運動，把高斯核代入 p_(t+s)(x, z) = integral p_t(x, y) p_s(y, z) dy，無非就是說 N(0, t) 與 N(0, s) 密度的卷積是 N(0, t+s) 密度——變異數相加。這就是 P_(t+s) = P_t P_s 的具體呈現。
卷積下變異數相加，正是高斯（熱）半群的查普曼-柯爾莫哥洛夫半群律。
時間齊次是關鍵：乾淨的 P_(t+s) = P_t P_s 律只在轉移機率僅依賴經過的時間（而非日曆時間）時成立。