矩陣指數轉移函數（matrix-exponential transition function）

矩陣指數轉移函數是公式 P_t = e^(tQ)，由生成元 Q 直接給出連續時間馬可夫鏈的 t 步轉移機率。它是離散鏈中 P^n =（一步矩陣）^n 在連續時間下的對應物，把整數冪換成矩陣指數。它既是科爾莫戈洛夫方程的解，也是描述 CTMC 分配如何在任意時間區間上傳播的最簡潔陳述。

對有限狀態空間，矩陣指數是收斂冪級數 e^(tQ) = sum_{n>=0} (tQ)^n / n! = I + tQ + t^2 Q^2/2 + ...，此 P_t 滿足兩個科爾莫戈洛夫方程 dP_t/dt = Q P_t = P_t Q 與 P_0 = I。族 {P_t : t >= 0} 是半群：P_{s+t} = P_s P_t，這正是查普曼-科爾莫戈洛夫／馬可夫性質，而 Q = P'_0 是其生成元。在計算上，當 Q 可對角化為 Q = V D V^{-1}（D 對角線為特徵值）時，得 e^(tQ) = V e^(tD) V^{-1}，其中 e^(tD) 只是把特徵值取指數；特徵值 0（其左特徵向量為平穩分配）給出平衡部分，其餘特徵值（實部皆非正）給出衰減的暫態，其速率即鏈的鬆弛時間。

此公式正是 CTMC 如此易處理的原因：分配、期望與相關函數皆由 e^(tQ) 讀出，而譜隙（最小的非零 |Re(特徵值)|）控制收斂到平衡的速度。兩點誠實的警告。在無限狀態空間上 Q 是無界算子，逐項冪級數可能發散；此時 e^(tQ) 須由半群理論（希勒-吉田）定義，且它等於最小轉移函數僅在鏈非爆炸時成立——否則 P_t 各列和可能小於 1，缺失的質量即已爆炸的機率。另外，切勿把 e^(tQ) 誤認為 tQ 的逐元指數；它是矩陣指數，是截然不同的物件。