主方程（master equation）
主方程是支配連續時間馬可夫鏈之機率分配如何隨時間演化的微分方程。在物理與化學中它是標準名稱；在機率中它是科爾莫戈洛夫前向方程。它是離散鏈中每步一次矩陣乘法在連續時間下的對應物，改寫為機率在各狀態間的流動，也是為求時變行為而實際求解（數值或閉式）的方程。
以 p_t(j) = P(X_t = j) 表示由某初始律出發在時間 t 的分配。前向（主）方程為 dp_t(j)/dt = sum_{i} p_t(i) q_ij = sum_{i != j} p_t(i) q_ij - p_t(j) q_j。將之讀為機率通量的平衡：身處 j 的變化率等於流入（其他狀態 i 現有的機率乘以進入 j 的速率 q_ij）減去流出（j 處的機率乘以總離開速率 q_j）。以矩陣形式，p_t 為列向量時，這是 dp_t/dt = p_t Q，等價地轉移函數滿足 dP_t/dt = P_t Q（前向）與 dP_t/dt = Q P_t（後向）。後向方程對起始狀態微分，是計算未來函數期望的自然方程：u_t(i) = E_i[f(X_t)] 滿足 du_t/dt = Q u_t。當鏈非爆炸時，兩者皆由 P_t = e^(tQ) 求解。
主方程是處理時變 CTMC 問題的工作工具：鬆弛到平衡、佇列的暫態、化學動力學、基因表現噪聲。兩點誠實的警告。其一，在無限狀態空間上，前向與後向方程並非自動等價，且最小過程僅在非爆炸下才是唯一解；若鏈爆炸，依爆炸時所做處理會有多個誠實的「解」。其二，主方程對機率而言是精確的，但它是一個無限（或極大）的耦合系統；化學中的確定性「速率方程」只是它的平均場極限，忽略了主方程確實保留的漲落。
對 Q 兩列為 ( -lambda, lambda ) 與 ( mu, -mu ) 的兩狀態鏈，p_t = (p_t(0), p_t(1)) 的主方程為 dp_t(0)/dt = -lambda p_t(0) + mu p_t(1)。以 p_0(0)=1 求解得 p_t(0) = mu/(lambda+mu) + lambda/(lambda+mu) e^(-(lambda+mu)t)。
主方程作為機率的收支記帳：每個狀態的流入減流出，給出以速率 lambda+mu 鬆弛到平衡。
在無限狀態空間上，前向與後向方程等價、且有唯一解 P_t = e^(tQ)，僅在鏈非爆炸時成立；若可能爆炸，則有多種邊界行為與多個解。化學中的確定性速率方程只是主方程的平均場極限，並非同一回事。