Dynkin 公式（Dynkin's formula）
/ DIN-kin /
Dynkin 公式是從馬可夫過程通往其生成元的實用橋樑：它讓你藉由沿路徑對生成元積分，來計算可觀測量在（隨機）停時的期望值。它是把最佳停止定理施加於 Dynkin 鞅的結果，也是計算擊中機率、平均離開時間與調和函數論證的日常工具。
從核心鞅恆等式出發：對 f in D(A)，過程 M_t^f = f(X_t) - f(X_0) - integral_0^t (A f)(X_s) ds 是鞅（這正是鞅問題的刻畫）。取期望得 E_x[ f(X_t) ] - f(x) = E_x[ integral_0^t A f(X_s) ds ]。Dynkin 公式是其在停時 tau 的版本：只要 tau 的期望有限（或 M^f 在直到 tau 為止適當地一致可積），最佳停止便給出 E_x[ f(X_tau) ] = f(x) + E_x[ integral_0^tau (A f)(X_s) ds ]。用白話說：f 從起點到停時的期望變化，等於經過時間內 f 的生成元變化率之期望累積。
重要性：巧妙地選取 f 可把它化為閉式答案。若 A f = 0（f 是 A-調和），則 E_x[ f(X_tau) ] = f(x)，回復擊中機率；若 A f = -1，則 E_x[ f(X_tau) ] = f(x) - E_x[tau]，故以正確邊界資料解 A u = -1 便給出平均離開時間；與狄利克雷問題及費曼-卡茨的聯繫，是同一想法加上位勢項。對 tau 的可積性假設並非可選：對無界區域或重尾的離開時間，此公式可能失敗（該鞅只是局部鞅，天真的最佳停止不合法）——這正是糾纏連續時間鞅論的同一個嚴格局部鞅警告。
布朗運動從 x in (0, 1) 出發，tau 為離開區間的時刻。要求平均離開時間，解 A u = (1/2) u'' = -1，邊界條件 u(0) = u(1) = 0，得 u(x) = x(1 - x)。Dynkin 公式於是給出 E_x[tau] = u(x) = x(1 - x)，在中點出發時最大（= 1/4）。
解 A u = -1 並取零邊界資料，即可讀出平均離開時間——這就是 Dynkin 公式的應用。
最佳停止需要對 tau 的可積性／一致可積假設；缺了它，底層對象只是局部鞅，公式可能確實失敗。