布朗位勢理論與狄利克雷問題（Brownian potential theory and the Dirichlet problem）

布朗運動與古典位勢理論之間有深刻而精確的對應：靜電學與熱流的偏微分方程，可藉由對布朗路徑取平均來求解。基石是狄利克雷問題——在一個域內求一個具指定邊界值的調和函數——而布朗運動以單一、直觀的處方求解它：讓運動跑到離開域為止，再讀出它落點處的邊界值。

精確地說，設 D 為 R^d 中一個有界（良好）的域，g 為其邊界上的連續函數，tau_D = inf{ t : B_t not in D } 為首次離開時間。函數 u(x) = E_x[ g(B_(tau_D)) ]——從 x 出發的布朗運動所看到的期望邊界值——在 D 內調和（滿足拉普拉斯方程 Delta u = 0），且在溫和的邊界正則性條件下，連續延拓為邊界上的 g。這之所以成立，是因為 (1/2) Delta 是布朗運動的生成元，所以 u(B_t) 恰在 u 調和時是局部鞅（Dynkin 公式／伊藤），而調和函數的均值性質「正是」「從 x 出發、在球面上停止的布朗運動均勻落點」這一陳述。更一般地，泊松方程 (1/2) Delta u = -f 加邊界資料 g，具費曼-卡茨型解 u(x) = E_x[ g(B_(tau_D)) + integral over [0, tau_D] of f(B_s) ds ]，再加上以速率 c 的消滅則給出薛丁格算子版本。調和測度——從 x 出發之離開位置 B_(tau_D) 的分布——是表示每個解的核。

重要性：這是分析與機率之間最初且至今最強大的連結，給出最大原理、Harnack 不等式與邊界正則性（維納準則）的機率證明，並支撐橢圓偏微分方程的蒙地卡羅求解器（球面漫步）。它也把物理容量與平衡電荷分布重新表述為布朗擊中機率。誠實的提醒：此表示需要邊界點是「正則」的（從內側剛剛出發的布朗運動確實立即在其附近離開）——不正則點（勒貝格刺的尖端）可能失效，而維納準則透過容量恰好刻劃哪些點正則。在維度 d >= 2，單點是極集（從不被擊中），所以在過小集合上的「邊界值」對過程不可見；且乾淨的 (1/2) Delta 生成元意味著常數 1/2 必須被追蹤，否則泊松項會差一個因子。