極集與容量（polar sets and capacity）

布朗運動會擊中哪些集合，又完全錯過哪些？一個集合若「極」（polar），意指從其外任一點出發，布朗運動（以機率一）永不擊中它。容量是位勢理論中對「可擊中性」的量化尺規：一個集合具正容量，恰當它被以正機率擊中；具零容量，恰當它是極集。二者合起來解釋了布朗運動戲劇性的維度相依性——為何一個點在平面中不可見而一條曲線可見，以及為何常返在 d = 3 處翻轉為瞬態。

常返／瞬態二分法：布朗運動在 d = 1 與 d = 2 中是鄰域常返的（它無窮多次返回每個點的每個鄰域），但在 d >= 3 中「瞬態」（|B_t| -> infinity，故它最終永遠離開每個有界集）。然而即使在 d = 2，單「點」也是極集：以機率一，平面布朗運動永不返回其確切起點（它鄰域常返，但點常返僅在 d = 1）。在 d >= 2 中每個單點集都是極集；更精細地，集合 A 是極集若且唯若它具零容量。相關的容量是基於能量的（牛頓／對數）容量：cap(A) 是最小能量積分的倒數（在 R^d x R^d 上對支撐於 A 的機率測度配以格林／里斯核），而一個緊集從外被布朗運動擊中若且唯若它具有限能量的機率測度——角谷（Kakutani）定理。有一個尖銳的「維度」判準：豪斯多夫維度為 s 的緊集，若 s > d - 2 則幾乎必然被 d 維布朗運動擊中，若 s < d - 2 則幾乎必然錯過（臨界情形需用容量）。所以在 d = 3 中，一條曲線（維度 1 = d - 2）是臨界的，曲面被擊中，點（維度 0）被錯過。

重要性：容量是從機率通往靜電學的橋樑——導體上的平衡（調和）測度即離開／擊中分布，而物理電容等於維納容量（至多差常數）。極性主宰著「薄集上」的邊界資料是否被狄利克雷問題看見、過程能否在某目標上被消滅、以及邊界點的正則性（維納準則是一個容量級數）。誠實的內涵：極性談的是「確切」擊中，而非近似——平面布朗運動無窮多次任意逼近其起點（鄰域常返），卻以機率零擊中該確切點；勿將「靠近」與「擊中」混為一談。且在臨界維度，決定擊中的精確判準是容量，而非勒貝格測度、甚至也不僅是豪斯多夫維度。