布朗橋、布朗片與時間反演對稱（Brownian bridge, sheet, and time-inversion）

布朗運動比單一過程更豐富：它衍生出一族近親，以及一群本身就是強大工具的對稱。三個核心者是布朗橋（被條件化以回到固定終點的布朗運動）、布朗片（把布朗運動推廣為「隨機曲面」的雙參數高斯場）、以及使布朗運動成為自相似、時間可逆物件的尺度與時間反演對稱。

在 [0, 1] 上從 0 到 0 的布朗橋是過程 X_t = B_t - t B_1，等價於條件於 B_1 = 0 的布朗運動；它是一個中心化高斯過程，協方差 Cov(X_s, X_t) = s(1 - t)（s <= t），兩端固定。它是經驗過程的尺度極限（Donsker），所以柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫統計量 sup |X_t| 具布朗橋的分布，使其成為適合度檢定的核心。尺度（自相似）對稱：對任意 c > 0，過程 (1/sqrt(c)) B_(ct) 仍是標準布朗運動——距離隨時間的平方根縮放，這是理論中每一個 sqrt(t) 的來源。時間反演對稱：由 X_0 = 0 與 X_t = t B_(1/t)（t > 0）定義的過程仍是標準布朗運動。時間反演把 0 附近的行為與無窮附近的行為對調，這正是為何重對數律在 t -> 0 與 t -> infinity 有相符的陳述，以及為何局部粗糙度與全局成長是互為鏡像。時間反向（B_(1 - t) - B_1 對 B）與馬可夫性的對稱使這個群更完整。布朗片 W(s, t) 是 [0, infinity)^2 上的中心化高斯場，協方差 E[W(s,t) W(s', t')] = min(s, s') min(t, t')；它在每個座標分別是布朗運動，且是典型的雙參數（時空）高斯噪音積分器，是可加隨機曲面的模型與隨機偏微分方程的驅動。

重要性：布朗橋給出條件化擴散、內插與 Donsker 型弱收斂統計量的確切分布；尺度對稱是布朗運動成為任何有限變異數隨機漫步之普適尺度極限（Donsker 不變性原理）的結構性原因；時間反演是免費的定理生成器，能即時把漸近結果在時間兩端之間轉移。誠實的提醒：布朗橋「不是」樸素意義下的馬可夫過程——條件於終點引入了朝它的牽引（其 SDE 為 dX = -(X / (1 - t)) dt + dB），所以當 t -> 1 時它具爆炸性漂移；布朗片儘管名為片，卻「沒有」在矩形上以任何簡單方式具獨立增量，且其樣本路徑幾何（例如其零集）確實是二維的，比單參數情形更精妙。自相似是「分布」上的陳述，而非逐路徑恒等式。