重對數律（law of the iterated logarithm）

重對數律精確釘住布朗運動漲落的「包絡線」——不只是 B_t 的典型大小 sqrt(t)（那是中央極限的尺度），而是幾乎必然意義下最狂野振盪的確切極端大小。它介於大數法則（說 B_t / t -> 0）與中央極限定理（說 B_t / sqrt(t) 為常態）之間，給出路徑不斷貼近卻不越過的尖銳幾乎必然邊界。

在無窮處的陳述是：幾乎必然地，limsup_(t -> infinity) B_t / sqrt(2 t log log t) = +1 且 liminf_(t -> infinity) B_t / sqrt(2 t log log t) = -1。函數 phi(t) = sqrt(2 t log log t) 是確切的上包絡線：對每個 epsilon > 0，路徑 B_t 無窮多次超過 (1 - epsilon) phi(t)，但僅有限多次超過 (1 + epsilon) phi(t)。由布朗時間反演（t B_(1/t) 仍是布朗運動），在 t = 0 處有一個鏡像陳述：幾乎必然地 limsup_(t -> 0+) B_t / sqrt(2 t log log (1/t)) = +1，它控制一點附近的精細局部粗糙度。證明結合了一個沿幾何子序列求和的指數（高斯尾）上界（博雷爾-坎泰利），與一個由獨立增量得出的下界，而平方根內的常數 2 正是讓上下兩半相符的關鍵。

重要性：重對數律是幾乎必然速率的黃金標準，用於校準強逼近（KMT）定理、迭代隨機漫步以及蒙地卡羅的精度。雙重對數確實精妙——把它換成 log t 或換成常數，都會給出錯誤的邊界。其誠實的內涵是：邊界被無窮多次達到，但常數 1 從不被超越：路徑一次又一次永遠任意逼近其包絡線，卻終究停留在其 (1 + epsilon) 之內。重對數律談的是漲落的上極限，而非典型值，且它對任何單一時刻 t 不置一詞。