李維連續性模（Levy's modulus of continuity）

布朗路徑究竟有多粗糙？它連續但處處不可微，所以沒有局部斜率；衡量其粗糙度的正確方式是其連續性模——當間隔 h 縮小時，|B_(t+h) - B_t| 在 t 上一致地能有多大。李維定理給出「確切」的一致連續模，即校準布朗粗糙度的精確尺規函數，它比「路徑對每個低於 1/2 的階皆 Holder 連續」這個較粗的陳述更為精細。

李維連續性模說：幾乎必然地，limsup_(h -> 0+) [ sup_(0 <= t <= 1 - h) |B_(t+h) - B_t| ] / sqrt(2 h log(1/h)) = 1。所以在所有起點 t in [0,1] 上，長度為 h 之窗口內的最大增量，漸近為 sqrt(2 h log(1/h))。因子 log(1/h)（而非如重對數律中的 log log）之所以出現，是因為我們對「許多」起點 t 取上確界——約有 1/h 個不相交窗口，而這麼多近獨立高斯增量的最大值把界放大了。這是「全局」模；重對數律給出單一固定點處的「局部」模 sqrt(2 h log log(1/h))，後者較小。兩者之間的差距——存在（隨機的）例外時刻，其增量大於局部重對數律速率，即所謂快點（fast points）——本身就是路徑幾何中豐富的主題。

重要性：連續模精確量化了為何伊藤微積分需要二階修正（大小為 sqrt(h) 的增量累積出二次變差）、為何布朗路徑不是 Holder-1/2 而是對每個 alpha < 1/2 皆 Holder-alpha、以及為何不可能有逐路徑的普通微積分微分。誠實的微妙之處在於全局與局部的差別：「任何位置」處最壞的增量（李維，帶 log）嚴格大於「預先選定點」處最壞的增量（重對數律，帶 log log）。混淆二者——或把 Holder-1/2 當作成立來引用——是經典錯誤：在確切指數 1/2 處，路徑因那個對數因子恰好不是 Holder。