可逆性與細緻平衡（reversibility and detailed balance）
可逆性是馬可夫過程相對於某不變測度的一種強對稱：在平衡態下運行時，過程在時間上順看與倒看在統計上相同。它遠不止於單純的不變性，在算子語言下它正是轉移半群在 L^2(mu) 上的「自伴性」——這開啟了譜論、變分原理，以及最乾淨的收斂速率結果。
細緻平衡是核層次的條件：相對於測度 mu（設密度為 m），從 x 到 y 的通量與從 y 到 x 的通量平衡，m(x) p_t(x, y) = m(y) p_t(y, x) 對所有 x, y, t 成立。對 y 求和回復一般不變性，故細緻平衡蘊含平穩性但嚴格更強。以算子論之，mu-可逆性說每個 P_t 在希爾伯特空間 L^2(mu) 上「自伴」：integral (P_t f) g dmu = integral f (P_t g) dmu 對所有 f, g 成立。在 t = 0 處微分，生成元 A 在 L^2(mu) 上「對稱」（自伴）：integral (A f) g dmu = integral f (A g) dmu，即所謂的分部積分／狄利克雷形式對稱。對生成元 A f = (1/2) sum d_i (a_(ij) d_j f) + b . grad f 的擴散，相對於 mu = e^(-V) dx 可逆，恰好當漂移是梯度時成立，b = -(1/2) a grad V（在無散度修正之下），即漂移源自一個位勢、沒有旋轉／環流部分。
重要性：自伴性意味生成元具實譜與正交特徵基，故 P_t = e^(tA) 逐模衰減，趨於平衡的收斂速率由譜隙（第一個非零特徵值）支配；它也給出生成元的變分狄利克雷形式表示，以及量化混合的龐加萊與對數索伯列夫不等式。誠實的提醒：多數馬可夫過程「並非」可逆（任何真正的環流——平穩時的非零機率流——都破壞細緻平衡）；可逆性是 Metropolis-Hastings MCMC 收斂保證背後的假設，是刻意設計的、而非通有的；且過程可以平穩卻強烈不可逆，A 的非自伴（反對稱）部分編碼著持久的平衡態流。
梯度擴散 dX = -grad V(X) dt + sqrt(2) dB 相對於吉布斯測度 mu 正比於 e^(-V(x)) dx 可逆：其生成元 A f = Delta f - grad V . grad f 在 L^2(mu) 上自伴，且細緻平衡成立。加入一個無散度漂移 dX = (-grad V + b)dt 並令 div(e^(-V) b) = 0，仍保持 mu 不變，卻「破壞」可逆性——一個持久的平衡態流在環流。
可逆性＝在 L^2(mu) 上自伴的生成元；無散度漂移保持不變性卻破壞細緻平衡。
細緻平衡嚴格強於不變性：過程可以平穩卻不可逆（非零的平衡態流），可逆性是刻意設計而非通有的——它正是 MCMC 所依賴者。