奧恩斯坦-烏倫貝克過程（Ornstein-Uhlenbeck process）
/ ORN-stine OO-len-beck /
奧恩斯坦-烏倫貝克過程是最簡單的、帶有朝固定水平拉力的非平凡擴散：它是布朗運動加上一個線性回復力。它是均值回歸的典型模型——一個有雜訊的量，會四處游走卻不斷被拉回平衡。物理上它最初是受摩擦與隨機撞擊之粒子速度（布朗運動的速度）的模型，如今則出現在金融（Vasicek 利率）、神經科學（膜電位）與統計學（平穩的高斯馬可夫過程）。
它解線性 SDE dX_t = -theta (X_t - m) dt + sigma dB_t，均值回歸率 theta > 0、長期均值 m、雜訊強度 sigma。漂移 -theta(X - m) 以正比於位移的強度指回 m；擴散 sigma 為常數（加性雜訊）。它的一大優點是可精確求解：用積分因子技巧（對 e^(theta t) X_t 套伊藤）得 X_t = m + (X_0 - m) e^(-theta t) + sigma integral_0^t e^(-theta(t-s)) dB_s。因雜訊線性進入，X_t 對每個 t 都是高斯：均值 m + (X_0 - m)e^(-theta t)，變異數 (sigma^2/(2 theta))(1 - e^(-2 theta t))。當 t -> infinity 時它遺忘 X_0，鬆弛到不變分布 N(m, sigma^2/(2 theta))。它是唯一具連續路徑的平穩、高斯、馬可夫過程，其平穩自共變數指數衰減：Cov(X_s, X_{s+t}) = (sigma^2/(2 theta)) e^(-theta t)。
OU 過程是本領域幾乎每個概念的首選範例：其生成元為 L f = -theta(x - m) f' + (sigma^2/2) f''，其福克-普朗克穩態是上述高斯，且它對該高斯可逆（細緻平衡成立）。它是 OU 半群以及高斯測度之超壓縮性／對數索伯列夫故事背後的擴散。一個值得記住的誠實對比：OU 過程是均值回歸且平穩的，而純布朗運動（theta = 0）非平穩、會擴散到無窮；且不同於幾何布朗運動，OU 過程可能變負，這正是它不適合作為嚴格正之量（價格、波動率、必須為正的利率）模型的原因——那裡改用 CIR 平方根過程。
Vasicek 短期利率模型 dr_t = a(b - r_t) dt + sigma dB_t 是利率的 OU 過程，以速度 a 均值回歸到 b。它解析上易處理（債券價格有閉式解），但有眾所周知的缺陷：r_t 可能變負，因為 OU 平穩分布是高斯、支撐在整個 R 上。
Vasicek 利率：一個 OU 過程，可精確求解但會變負。
OU 過程是高斯的、可取負值，故對嚴格正的量並不適用——那裡用 CIR。它平穩只因 theta > 0；當 theta = 0 它退化為布朗運動，後者沒有不變的機率分布。