伊藤公式（Ito's formula）
/ EE-toh /
伊藤公式是隨機微積分的變數變換公式——微積分基本定理與鏈鎖律的對應物，但針對積分子粗糙這一事實作了修正。它是整個學科中最常用的結果：你用它與隨機積分一起計算、導出 SDE、證明李維刻畫、建構隨機指數，並透過費曼-卡茨把 SDE 連結到 PDE。若你只懂隨機分析中的一條定理，那就是它。
對於光滑函數 f 與布朗運動 B，公式為 f(B_t) = f(B_0) + integral_0^t f'(B_s) dB_s + (1/2) integral_0^t f''(B_s) ds。以微分速記，df(B) = f'(B) dB + (1/2) f''(B) dt；第二項在普通微積分中不存在，即伊藤修正，它直接來自二階泰勒展開中的 (dB)^2 = dt。真正有用的版本是對連續半鞅 X_t = X_0 + integral b ds + integral sigma dB（或更抽象地 X = M + A，M 為連續局部鞅、A 為有界變差）：則對二次連續可微的 f，f(X_t) = f(X_0) + integral_0^t f'(X_s) dX_s + (1/2) integral_0^t f''(X_s) d[X]_s，其中 [X] 是 X 的二次變差（在 SDE 形式中等於 integral sigma^2 ds）。dX 積分拆成 dM（鞅）部分與 dA（漂移）部分；(1/2) f'' d[X] 項則是新增的。有兩個特徵值得強調：f 只需 C^2（不需更多），且積分 integral f'(X) dX 本身就是由先前建構定義的隨機積分，故公式把變換後的半鞅再次表達為半鞅。
它的影響極為深遠。它把鞅性質的驗證化為微分（一個過程是局部鞅，若且唯若它的漂移項消失）、為擴散的任何光滑函數產生其所滿足的 SDE，並是從機率到 PDE 的橋樑：把伊藤公式用於 f(X_t) 並令漂移給出生成元，便得到丁金公式與費曼-卡茨表示。誠實的提醒：(1) C^2 假設很重要——對非光滑的 f（如 |x| 或 (x-a)^+），天真的公式失效，須用帶局部時作修正的田中公式。(2) 公式是針對採左端點約定的伊藤積分；斯特拉托諾維奇版本服從不帶修正項的普通鏈鎖律，正因其對稱約定吸收了 (1/2) f'' d[X]。(3) 修正中的 d[X] 是積分子的二次變差，而非時間的——對一般連續鞅 M 它是 d[M]，不是 dt。
取 f(x) = e^x 作用於 X_t = sigma B_t - (sigma^2/2) t。此處 [X]_t = sigma^2 t。伊藤給出 d(e^X) = e^X dX + (1/2) e^X d[X] = e^X (sigma dB - (sigma^2/2) dt) + (1/2) e^X sigma^2 dt = sigma e^X dB。漂移恰好抵消，故 e^{sigma B_t - (sigma^2/2) t} 是（局部）鞅——這就是幾何布朗運動／隨機指數，而抵消是由 -(sigma^2/2) t 項精心設計來消去伊藤修正的。
伊藤公式連同二階項算出 d(e^X)；刻意的 -(sigma^2/2)t 漂移把它抵消，產生一個鞅。
伊藤公式需要 f 屬於 C^2，且適用於伊藤（左端點）積分；對非光滑的 f 須用田中公式，並記住修正項帶的是 d[X]（積分子的二次變差），唯有對標準布朗運動才等於 dt。