田中公式（Tanaka's formula）

伊藤公式要求函數二次連續可微，但布朗路徑上最自然的函數——其絕對值，或到某水平的距離——卻有一個尖角。|B_t| 的隨機微分是什麼？田中公式回答了這個問題，把伊藤公式推廣到 f(x) = |x - a|，代價是一個新成分：一個恰好捕捉尖角貢獻的局部時項。

公式為：|B_t - a| = |B_0 - a| + integral over [0,t] of sgn(B_s - a) dB_s + L_t^a，其中 sgn(x) = +1（x > 0）、-1（x < 0）（在 0 處的值無關緊要，因 B 不在該處花時間），而 L_t^a 是水平 a 的局部時。對比一般伊藤：若 f 是 C^2，我們會得到 f'(B_s) dB_s 加上 (1/2) f''(B_s) ds。這裡 f' = sgn 是正確的一階導數，但 f'' 在分布意義下是狄拉克 δ 即 2 delta_a，而二階項 (1/2) integral 2 delta_a(B_s) ds 恰是局部時 L_t^a——田中公式正是當 f'' 是點質量時對「(1/2) f''(B) ds = L^a」的嚴格詮釋。一般的伊藤-田中公式對任何凸（或凸函數之差）的 f 做同樣的事：f(B_t) = f(B_0) + integral f'_-(B_s) dB_s + (1/2) integral over R of L_t^a f''(da)，其中 f'' 是二階導數的（帶號）測度。

重要性：田中公式是局部時的標準「構造」（作為 |B_t - a| - |B_0 - a| - 隨機積分 之差，它自動連續且遞增），它表明 |B - a| 是以局部時為有界變差部分的半鞅，並且是斜布朗運動、Skorokhod 反射問題、以及具尖角報酬定價（局部時項即「履約價處的 gamma」）的基礎。關鍵的誠實：你「不能」對 |B| 套用樸素的伊藤微積分——這樣做會悄悄丟掉局部時項而給出錯誤答案。尖角貢獻了一個真正嶄新、路徑相依的遞增過程，而積分內的符號函數使 integral sgn(B_s) dB_s 本身成為一個布朗運動（李維刻劃），所以 |B| =（一個布朗運動）+ L，這正是喬裝的李維定理。